Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2560
2019-03-30 
B озеро впадают две реки. Пароход выходит из порта $M$ на первой - реке и плывет вниз по течению, затем через озеро (на озере течение отсутствует) и по второй реке вверх по течению до порта $N$. Придя в $N$, пароход отправляется в обратный путь.
Известна собственная скорость парохода $v$ и скорости течения рек: $v_1$ и $v_2$. На путь от $M$ до $N$, равный по длине $s$, и на обратный путь пароход тратит одинаковое время $t$. Какое расстояние пароход проходит по озеру?
Решение:
Устье реки, на которой стоит порт $M$, обозначим через $A$, а устье второй реки - через $B$. Расстояние $MA$ обозначим буквой $x$, а расстояние $BN$ - буквой $y$. Искомое расстояние тогда будет равно $s- (x+y)$). На путь от $M$ до $N$ пароход потратил: $\frac{x}{v+v_1}$ часов на путь по первой реке (по течению), $\frac {s - (x+y)}{v}$ часов на путь по озеру и $\frac{y}{v - v_2}$ - часов на путь по второй реке (против течения). Так как на весь путь ушло $t$ часов, то получаем уравнение
$\frac {x}{v + v_1} + \frac {s- (x+y)}{v} + \frac {y}{v - v_2} = t$.
Аналогично для пути от $N$ до $M$ получим уравнение
$\frac {y}{v + v_2} + \frac {s - (x+y)}{v} + \frac {y}{v - v_3} = t$.
Приравнивая левые части этих уравнений, получим
$x \left (\frac {1}{v-v_1} - \frac {1}{v+v_1} \right ) = y \left ( \frac {1}{v-v_2} - \frac {1}{v+v_2} \right )$,
т.е.
$x = y \frac {v^2 - v_1^2}{v^2 - v_2^2} \cdot \frac{v_2}{v_1}$.
Подставим найденное выражение для $x$ в первое уравнение и найдем
$y = \frac {(tv - s)(v^2 - v_2^2)}{v_2 (v_1 + v_2)}$
следовательно,
$x = \frac {(tv - s)(v^2 - v_1^2)}{v_1 (v_1 + v_2)}$.
Остается найти $s - (x+y)$.
Ответ. $(s - tv) \frac {v^2}{v_1v_2} + tv$.
B озеро впадают две реки. Пароход выходит из порта $M$ на первой - реке и плывет вниз по течению, затем через озеро (на озере течение отсутствует) и по второй реке вверх по течению до порта $N$. Придя в $N$, пароход отправляется в обратный путь.
Известна собственная скорость парохода $v$ и скорости течения рек: $v_1$ и $v_2$. На путь от $M$ до $N$, равный по длине $s$, и на обратный путь пароход тратит одинаковое время $t$. Какое расстояние пароход проходит по озеру?
Решение:
Устье реки, на которой стоит порт $M$, обозначим через $A$, а устье второй реки - через $B$. Расстояние $MA$ обозначим буквой $x$, а расстояние $BN$ - буквой $y$. Искомое расстояние тогда будет равно $s- (x+y)$). На путь от $M$ до $N$ пароход потратил: $\frac{x}{v+v_1}$ часов на путь по первой реке (по течению), $\frac {s - (x+y)}{v}$ часов на путь по озеру и $\frac{y}{v - v_2}$ - часов на путь по второй реке (против течения). Так как на весь путь ушло $t$ часов, то получаем уравнение
$\frac {x}{v + v_1} + \frac {s- (x+y)}{v} + \frac {y}{v - v_2} = t$.
Аналогично для пути от $N$ до $M$ получим уравнение
$\frac {y}{v + v_2} + \frac {s - (x+y)}{v} + \frac {y}{v - v_3} = t$.
Приравнивая левые части этих уравнений, получим
$x \left (\frac {1}{v-v_1} - \frac {1}{v+v_1} \right ) = y \left ( \frac {1}{v-v_2} - \frac {1}{v+v_2} \right )$,
т.е.
$x = y \frac {v^2 - v_1^2}{v^2 - v_2^2} \cdot \frac{v_2}{v_1}$.
Подставим найденное выражение для $x$ в первое уравнение и найдем
$y = \frac {(tv - s)(v^2 - v_2^2)}{v_2 (v_1 + v_2)}$
следовательно,
$x = \frac {(tv - s)(v^2 - v_1^2)}{v_1 (v_1 + v_2)}$.
Остается найти $s - (x+y)$.
Ответ. $(s - tv) \frac {v^2}{v_1v_2} + tv$.
