ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Найти все пары ненулевых векторов $x, y$, для которых последовательность чисел
$a_{n}=|\mathbf{x}-n \mathbf{y}| (n \in \mathbf{N})$
является: а) возрастающей; б) убывающей.


Решение:


Так как $a_{n} \geq 0$ при всех значениях n, то возрастание или убывание последовательности $\{ a_{n} \}$ равносильно возрастанию или убыванию последовательности чисел
$a_{n}^{2} = (\mathbf{x} – n \mathbf{t})^{2} = \mathbf{x}^{2}- 2n \mathbf{x} \mathbf{y} + n^{2}\mathbf{y}^{2}$,
которая представляет собой последовательность значений квадратного трехчлена с положительным старшим коэффициентом в точках $n \in \mathbf{N}$. Из свойств квадратных трехчленов вытекает, что такая последовательность не может быть убывающей, а возрастающей она является тогда и только тогда, когда $a_{1}^{2} < a_{2}^{2}$, или
$\mathbf{x}^{2} – 2 \mathbf{x} \mathbf{y} + \mathbf{y}^{2} < \mathbf{x}^{2} – 4 \mathbf{x} \mathbf{y} + 4 \mathbf{y}^{2}$.
Таким образом, условие а) равносильно условию
$3 \mathbf{y}^{2} > 2 \mathbf{x} \mathbf{y}$, т.е. $3|\mathbf{y}| > 2|\mathbf{x}| \cos \phi$,
где ($\phi$ - угол между векторами $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$, а условие б) не выполняется никогда.