Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2559
2019-03-30 
Расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $s$ км. Из пункта $A$ в пункт $B$ вылетел вертолет, а через $t$ часов в том же направлении вылетел самолет. Самолет догнал вертолет в $d$ км от $A$, долетел до $B$ и сразу повернул обратно. B $d$ км от $B$ самолет встретил вертолет и вернулся в $A$ позднее, чем вертолет прибыл в $B$. Насколько раньше вертолет прибыл в $B$, чем самолет вернулся в $A$?
Решение:
Обозначим скорость самолета через $x$, а скорость вертолета через $y$. До первой встречи вертолет летел $\frac{d}{y}$ часов, а самолет $\frac{d}{x}$ часов. Так как самолет вылетел на $t$ часов позднее, то
$\frac{d}{y} = \frac{d}{x} + t$.
Второе уравнение мы получим из условия второй встречи. Вертолет к этому моменту находился в $d$ км от $B$ и пробыл в полете $\frac{s-d}{y}$ часов. Самолет преодолел расстояние $s+d$ и пробыл в полете $\frac{s+d}{x}$ часов. Следовательно,
$\frac{s-d}{y} = \frac{s+d}{x} + t$.
Хотя полученную систему уравнений можно решить, а затем ответить на вопрос задачи, мы сначала вычислим интересующую нас величину в предположении, что $x$ и $y$ известны. Вертолет прилетел в $B$ через $\frac{s}{y}$ часов после вылета. Самолет вернулся в $A$ через $t+ 2 \frac{s}{x}$ часов после того, как вертолет вылетел из $A$. Нас интересует величина
$t + \frac{2s}{x} = \frac{s}{y}$
- на столько часов самолет вернулся в $A$ позднее, чем вертолет прилетел в $B$. Таким образом, из полученных уравнений нужно определить $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$. Умножив первое уравнение на $d-s$, а второе на $d$ и сложив, найдем
$\frac {(s+d)d}{x} + \frac {d(d-s)}{x} + t(d-s) + td = 0$,
т.е.
$\frac{2d^2}{x} = t (s-2d)$,
откуда
$\frac{1}{x} = \frac {t(s-2d)}{2d^2}$.
Из первого уравнения определяем $\frac{1}{y}$:
$\frac{1}{y} = \frac{1}{x} + \frac{t}{d} = \frac{ts}{2d^2}$.
Следовательно,
$t + \frac{2s}{x} - \frac{s}{y} = t + \frac {2st (s-2d)}{2d^2} - \frac{ts^2}{2d^2} = t + \frac {st (s-4d)}{2d^2}$.
Задача имеет решение, если все участвующие компоненты положительны. Чтобы величина $\frac{1}{x}$ имела смысл, необходимо $s>2d$.
По условию вертолет прилетел в $B$ раньше, чем самолет вернулся в $A$. Поэтому
$t + \frac {st (s-4d)}{2d^2} > 0$,
т.е.
$s^2 - 4sd + 2d^2 > 0$.
Получаем квадратное неравенство относительно отношения $\frac{s}{d}$:
$\left ( \frac{s}{d} \right )^2 - 4 \frac{s}{d} + 2 > 0$,
откуда
$\frac{s}{d} < 2 - \sqrt{2}$ или $\frac{s}{d} > 2 + \sqrt{2}$.
Первое решение придется отбросить, так как тогда $s < 2d - \sqrt {2d}$, а это противоречит условию, что $s > 2d$.
Ответ. $t + \frac {st (s-4d)}{2d^2}, s > (2+ \sqrt{2}) d$.
Расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $s$ км. Из пункта $A$ в пункт $B$ вылетел вертолет, а через $t$ часов в том же направлении вылетел самолет. Самолет догнал вертолет в $d$ км от $A$, долетел до $B$ и сразу повернул обратно. B $d$ км от $B$ самолет встретил вертолет и вернулся в $A$ позднее, чем вертолет прибыл в $B$. Насколько раньше вертолет прибыл в $B$, чем самолет вернулся в $A$?
Решение:
Обозначим скорость самолета через $x$, а скорость вертолета через $y$. До первой встречи вертолет летел $\frac{d}{y}$ часов, а самолет $\frac{d}{x}$ часов. Так как самолет вылетел на $t$ часов позднее, то
$\frac{d}{y} = \frac{d}{x} + t$.
Второе уравнение мы получим из условия второй встречи. Вертолет к этому моменту находился в $d$ км от $B$ и пробыл в полете $\frac{s-d}{y}$ часов. Самолет преодолел расстояние $s+d$ и пробыл в полете $\frac{s+d}{x}$ часов. Следовательно,
$\frac{s-d}{y} = \frac{s+d}{x} + t$.
Хотя полученную систему уравнений можно решить, а затем ответить на вопрос задачи, мы сначала вычислим интересующую нас величину в предположении, что $x$ и $y$ известны. Вертолет прилетел в $B$ через $\frac{s}{y}$ часов после вылета. Самолет вернулся в $A$ через $t+ 2 \frac{s}{x}$ часов после того, как вертолет вылетел из $A$. Нас интересует величина
$t + \frac{2s}{x} = \frac{s}{y}$
- на столько часов самолет вернулся в $A$ позднее, чем вертолет прилетел в $B$. Таким образом, из полученных уравнений нужно определить $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$. Умножив первое уравнение на $d-s$, а второе на $d$ и сложив, найдем
$\frac {(s+d)d}{x} + \frac {d(d-s)}{x} + t(d-s) + td = 0$,
т.е.
$\frac{2d^2}{x} = t (s-2d)$,
откуда
$\frac{1}{x} = \frac {t(s-2d)}{2d^2}$.
Из первого уравнения определяем $\frac{1}{y}$:
$\frac{1}{y} = \frac{1}{x} + \frac{t}{d} = \frac{ts}{2d^2}$.
Следовательно,
$t + \frac{2s}{x} - \frac{s}{y} = t + \frac {2st (s-2d)}{2d^2} - \frac{ts^2}{2d^2} = t + \frac {st (s-4d)}{2d^2}$.
Задача имеет решение, если все участвующие компоненты положительны. Чтобы величина $\frac{1}{x}$ имела смысл, необходимо $s>2d$.
По условию вертолет прилетел в $B$ раньше, чем самолет вернулся в $A$. Поэтому
$t + \frac {st (s-4d)}{2d^2} > 0$,
т.е.
$s^2 - 4sd + 2d^2 > 0$.
Получаем квадратное неравенство относительно отношения $\frac{s}{d}$:
$\left ( \frac{s}{d} \right )^2 - 4 \frac{s}{d} + 2 > 0$,
откуда
$\frac{s}{d} < 2 - \sqrt{2}$ или $\frac{s}{d} > 2 + \sqrt{2}$.
Первое решение придется отбросить, так как тогда $s < 2d - \sqrt {2d}$, а это противоречит условию, что $s > 2d$.
Ответ. $t + \frac {st (s-4d)}{2d^2}, s > (2+ \sqrt{2}) d$.
