Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2558
2019-03-30 
Товарный поезд, шедший из $A$ в $B$, прибыл в $C$ одновременно с пассажирским, шедшим из $B$ в $A$ со скоростью в $m$ раз большей, чем скорость товарного поезда. Оба состава простояли $t$ часов в пункте $C$, затем продолжили путь, причем каждый увеличил скорость на 25%. Товарный поезд прибыл в $B$ на $t_1$ часов позже, а пассажирский в $A$ на $t_2$ часов позже, чем если бы они двигались без остановки с первоначальной скоростью. Насколько раньше товарный поезд вышел из $A$, чем пассажирский из $B$?
Решение:
Обозначим скорость товарного поезда до остановки через $x$, расстояние $AB$ через $у$, а расстояние $AC$ через $z$. Тогда пассажирский поезд шел вначале со скоростью $mx$, а после остановки оба поезда шли соответственно со скоростями $5x/4$ и $5mx/4$. На весь путь без остановки товарный поезд потратил бы $y/x$ часов. Поскольку он сделал остановку на $t$ часов в $z$ км от $A$, а затем прошел оставшиеся $y-z$ км со скоростью $5x/4$, то он израсходовал на весь путь
$\frac{z}{x} + \frac {4 (y-z)}{5x} + t$ часов.
Следовательно,
$\frac{y}{z} + t_1 = \frac{z}{x} + \frac {4(y-z)}{5x} + t$.
Аналогичное уравнение составляем для пассажирского поезда, который шел в обратном направлении:
$\frac{y}{mx} + t_2 = \frac{y-z}{mx} + \frac{4y}{5mx} + t$.
Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно из времени, которое понадобилось товарному поезду, чтобы преодолеть отрезок $AC$, вычесть время, которое понадобилось пассажирскому поезду, чтобы пройти расстояние $BC$. B наших обозначениях эта разность запишется так:
$\frac{z}{x} - \frac{y-z}{mx}$.
Именно это выражение нам нужно определить с помощью полученных выше уравнений. Мы можем добиться этого, решив уравнения относительно $\frac{z}{x}$ и $\frac{y}{x}$ . После простых преобразований система примет вид
$\begin{cases} \frac{y}{x} - \frac{z}{x} = 5 (t - t_1) \\ 4 \frac{y}{x} - 5 \frac{z}{x} = 5m (t_2 - t) \end{cases}$.
Умножив первое уравнение на - 4 и сложив со вторым, найдем $\frac{z}{x}$, а умножив его на - 5 и сложив со вторым, найдем $\frac{y}{x}$:
$\frac{y}{x} = 25 (t - t_1) - 5m (t_2 - t), \frac{z}{x} = 20 (t - t_1) - 5 m (t_2 - t)$.
Остается подставить найденные значения в выражение
$(m+1) \frac{z}{mx} - \frac{y}{mx}$.
Ответ. $\frac{5}{m} [(4m-1)(t-t_1) - m^2(t_2 - t)]$.
Товарный поезд, шедший из $A$ в $B$, прибыл в $C$ одновременно с пассажирским, шедшим из $B$ в $A$ со скоростью в $m$ раз большей, чем скорость товарного поезда. Оба состава простояли $t$ часов в пункте $C$, затем продолжили путь, причем каждый увеличил скорость на 25%. Товарный поезд прибыл в $B$ на $t_1$ часов позже, а пассажирский в $A$ на $t_2$ часов позже, чем если бы они двигались без остановки с первоначальной скоростью. Насколько раньше товарный поезд вышел из $A$, чем пассажирский из $B$?
Решение:
Обозначим скорость товарного поезда до остановки через $x$, расстояние $AB$ через $у$, а расстояние $AC$ через $z$. Тогда пассажирский поезд шел вначале со скоростью $mx$, а после остановки оба поезда шли соответственно со скоростями $5x/4$ и $5mx/4$. На весь путь без остановки товарный поезд потратил бы $y/x$ часов. Поскольку он сделал остановку на $t$ часов в $z$ км от $A$, а затем прошел оставшиеся $y-z$ км со скоростью $5x/4$, то он израсходовал на весь путь
$\frac{z}{x} + \frac {4 (y-z)}{5x} + t$ часов.
Следовательно,
$\frac{y}{z} + t_1 = \frac{z}{x} + \frac {4(y-z)}{5x} + t$.
Аналогичное уравнение составляем для пассажирского поезда, который шел в обратном направлении:
$\frac{y}{mx} + t_2 = \frac{y-z}{mx} + \frac{4y}{5mx} + t$.
Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно из времени, которое понадобилось товарному поезду, чтобы преодолеть отрезок $AC$, вычесть время, которое понадобилось пассажирскому поезду, чтобы пройти расстояние $BC$. B наших обозначениях эта разность запишется так:
$\frac{z}{x} - \frac{y-z}{mx}$.
Именно это выражение нам нужно определить с помощью полученных выше уравнений. Мы можем добиться этого, решив уравнения относительно $\frac{z}{x}$ и $\frac{y}{x}$ . После простых преобразований система примет вид
$\begin{cases} \frac{y}{x} - \frac{z}{x} = 5 (t - t_1) \\ 4 \frac{y}{x} - 5 \frac{z}{x} = 5m (t_2 - t) \end{cases}$.
Умножив первое уравнение на - 4 и сложив со вторым, найдем $\frac{z}{x}$, а умножив его на - 5 и сложив со вторым, найдем $\frac{y}{x}$:
$\frac{y}{x} = 25 (t - t_1) - 5m (t_2 - t), \frac{z}{x} = 20 (t - t_1) - 5 m (t_2 - t)$.
Остается подставить найденные значения в выражение
$(m+1) \frac{z}{mx} - \frac{y}{mx}$.
Ответ. $\frac{5}{m} [(4m-1)(t-t_1) - m^2(t_2 - t)]$.
