Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2557
2019-03-30 
Пассажир, опоздавший на поезд, сначала решил догнать его на такси, однако через некоторое время пересел на автобус, заплатив за билет $A$ рублей, и прибыл на одну из станций одновременно с поездом. Между тем он обнаружил, что если бы продолжал ехать на такси, то догнал бы поезд на $\tau$ часов раньше, истратив при этом на $B$ рублей меньше. Какова скорость поезда, если скорость такси $v_1$ автобуса $v_2(v_1 > v_2)$, а стоимость проезда 1 км на такси $а$ рублей?
Решение:
Пусть пассажир опоздал на поезд на $t$ часов, проехал на такси $x$ км, а на автобусе $y$ км. Скорость поезда обозначим через $u$. Тогда на путь до встречи с поездом пассажир израсходует $\frac{x}{v_1} + \frac{y}{v_2}$ часов, а поезд пройдет этот путь за $\frac{x+y}{u}$ часов. Учтя опоздание пассажира, получим
$\frac{x}{v_1} + \frac{y}{v_2} = \frac{x+y}{u} - t$. (1)
Поездка на такси и автобусе обошлась пассажиру в $ax + A$ рублей. Если бы он ехал все время на такси, то это стоило бы $ax + A - B$ рублей и он догнал бы поезд, проехав $\frac{ax + A + B}{a}$ км. Приравнивая времена, затраченные на этот путь поездом и догонявшим его пассажиром, получим второе уравнение:
$\frac{ ax + A - B}{av_1} = \frac{ax + A - B}{au} - t$ (2).
Третье уравнение очевидно:
$\frac{x}{v_1} + \frac{y}{v_2} - \tau = \frac{ax + A - B}{av_1}$. (3)
Записав его в виде
$\frac{x}{v_1} + \frac{y}{v_2} - \tau = \frac{x}{v_1} + \frac{A - B}{av_1}$
найдем
$y = \tau v_2 + \frac {(A-B)v_2}{av_1}$.
Приравниваем выражения для $t$ из уравнений (1) и (2). Получим
$\frac{x}{u} + \frac{A-B}{au} - \frac{x}{v_1} - \frac{A-B}{av_1} = \frac{x}{u} + \frac{y}{u} - \frac{x}{v_1} - \frac{y}{v_2}$,
т.е.
$\frac{A-B}{au} - \frac{A-B}{av_1} = \frac{y}{u} - \frac{y}{v_2}$.
Поскольку $y$ уже найден, можно вычислить $u$:
$u = v_2 - \frac {(A-B)(v_1 - v_2)}{\tau av_1}$.
Чтобы задача имела решение, скорость поезда должна быть положительной. Так как $v_1 > v_2$ и $A>B$, то из неравенств
$v_2 - \frac {(A-B)(v_1 - v_2)}{\tau av_1} > 0$
следует, что $\frac {v_2v_1}{v_1-v_2} > \frac{A-B}{a \tau}$.
Ответ. $v_2 - \frac {(A-B)(v_1 - v_2)}{\tau av_1}$, если $\frac {v_2v_1}{v_1 - v_2} > \frac{A-B}{a \tau}$.
Пассажир, опоздавший на поезд, сначала решил догнать его на такси, однако через некоторое время пересел на автобус, заплатив за билет $A$ рублей, и прибыл на одну из станций одновременно с поездом. Между тем он обнаружил, что если бы продолжал ехать на такси, то догнал бы поезд на $\tau$ часов раньше, истратив при этом на $B$ рублей меньше. Какова скорость поезда, если скорость такси $v_1$ автобуса $v_2(v_1 > v_2)$, а стоимость проезда 1 км на такси $а$ рублей?
Решение:
Пусть пассажир опоздал на поезд на $t$ часов, проехал на такси $x$ км, а на автобусе $y$ км. Скорость поезда обозначим через $u$. Тогда на путь до встречи с поездом пассажир израсходует $\frac{x}{v_1} + \frac{y}{v_2}$ часов, а поезд пройдет этот путь за $\frac{x+y}{u}$ часов. Учтя опоздание пассажира, получим
$\frac{x}{v_1} + \frac{y}{v_2} = \frac{x+y}{u} - t$. (1)
Поездка на такси и автобусе обошлась пассажиру в $ax + A$ рублей. Если бы он ехал все время на такси, то это стоило бы $ax + A - B$ рублей и он догнал бы поезд, проехав $\frac{ax + A + B}{a}$ км. Приравнивая времена, затраченные на этот путь поездом и догонявшим его пассажиром, получим второе уравнение:
$\frac{ ax + A - B}{av_1} = \frac{ax + A - B}{au} - t$ (2).
Третье уравнение очевидно:
$\frac{x}{v_1} + \frac{y}{v_2} - \tau = \frac{ax + A - B}{av_1}$. (3)
Записав его в виде
$\frac{x}{v_1} + \frac{y}{v_2} - \tau = \frac{x}{v_1} + \frac{A - B}{av_1}$
найдем
$y = \tau v_2 + \frac {(A-B)v_2}{av_1}$.
Приравниваем выражения для $t$ из уравнений (1) и (2). Получим
$\frac{x}{u} + \frac{A-B}{au} - \frac{x}{v_1} - \frac{A-B}{av_1} = \frac{x}{u} + \frac{y}{u} - \frac{x}{v_1} - \frac{y}{v_2}$,
т.е.
$\frac{A-B}{au} - \frac{A-B}{av_1} = \frac{y}{u} - \frac{y}{v_2}$.
Поскольку $y$ уже найден, можно вычислить $u$:
$u = v_2 - \frac {(A-B)(v_1 - v_2)}{\tau av_1}$.
Чтобы задача имела решение, скорость поезда должна быть положительной. Так как $v_1 > v_2$ и $A>B$, то из неравенств
$v_2 - \frac {(A-B)(v_1 - v_2)}{\tau av_1} > 0$
следует, что $\frac {v_2v_1}{v_1-v_2} > \frac{A-B}{a \tau}$.
Ответ. $v_2 - \frac {(A-B)(v_1 - v_2)}{\tau av_1}$, если $\frac {v_2v_1}{v_1 - v_2} > \frac{A-B}{a \tau}$.
