Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2556
2019-03-30 
Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автомобиль. Одновременно из $B$ навстречу ему выехал мотоцикл. Через некоторое время они встретились. B момент их встречи из $B$ в $A$ выехал второй мотоцикл и в некоторый момент времени встретился с автомобилем. Расстояние между пунктами первой и второй встреч равно $\frac{2}{9} AB$. Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, то автомобиль встретился бы с первым мотоциклом через 3 часа после их выезда и расстояние между пунктами встреч было бы равно 60 км. Найти $AB$ если скорости обоих мотоциклов одинаковы.
Решение:
Пусть $x$ и $у$ - скорости автомобиля и мотоцикла соответственно, a $z$ - длина пути $AB$. Тогда первая встреча $\frac{z}{x+y}$ произойдет через часов после начала движения на расстоянии $\frac{zy}{x+y}$ от пункта $B$. Те же рассуждения, примененные к отрезку длиной в $\frac{zy}{x+y}$ позволят найти расстояние между первым и вторым пунктами встречи. По условию это расстояние равно $\frac{2}{9}z$, т. е.
$\frac {zyx}{(x+y)^2} = \frac{2}{9} z$, или $\frac {yz}{(x+y)^2} = \frac{2}{9}$.
Это уравнение можно переписать так:
$2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0$,
т.е.
$2 \left ( \frac{x}{y} \right )^2 - 5 \frac{x}{y} + 2 = 0$,
откуда
либо $\frac{x}{y} = 2$, либо $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$ (1).
Очевидно, что эти отношения дают симметричные решения. Если предположить, что скорость автомобиля больше скорости мотоцикла, то $x = 2y$.
Используем оставшиеся условия задачи. Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, т. е. равнялась бы $x-20$ км/ч, то первая встреча произошла бы через 3 часа после начала движения. Получаем уравнение
$\frac{z}{x+y-20} = 3$. (2)
Мотоцикл до встречи преодолел бы в этом случае расстояние в $3y$ км, а расстояние между пунктами первой и второй встреч составило бы $\frac{3yx}{x+y-20}$. Получаем третье уравнение:
$\frac{3yx}{x+y-20} = 60$ (3).
Подставим в это уравнение $x = 2y$. Получим квадратное уравнение, корнями которого являются $y_1 = 20, y_2 = 10$. Второе значение не подходит, так как тогда $x_2 = 20$ и $x-20 = 0$, что не имеет для нашей задачи физического смысла.
Итак, $y = 20$ км/ч, $x=40$ км/ч, а из уравнения (2) найдем, что $z = 120$ км.
Ответ. 120 км.
Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автомобиль. Одновременно из $B$ навстречу ему выехал мотоцикл. Через некоторое время они встретились. B момент их встречи из $B$ в $A$ выехал второй мотоцикл и в некоторый момент времени встретился с автомобилем. Расстояние между пунктами первой и второй встреч равно $\frac{2}{9} AB$. Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, то автомобиль встретился бы с первым мотоциклом через 3 часа после их выезда и расстояние между пунктами встреч было бы равно 60 км. Найти $AB$ если скорости обоих мотоциклов одинаковы.
Решение:
Пусть $x$ и $у$ - скорости автомобиля и мотоцикла соответственно, a $z$ - длина пути $AB$. Тогда первая встреча $\frac{z}{x+y}$ произойдет через часов после начала движения на расстоянии $\frac{zy}{x+y}$ от пункта $B$. Те же рассуждения, примененные к отрезку длиной в $\frac{zy}{x+y}$ позволят найти расстояние между первым и вторым пунктами встречи. По условию это расстояние равно $\frac{2}{9}z$, т. е.
$\frac {zyx}{(x+y)^2} = \frac{2}{9} z$, или $\frac {yz}{(x+y)^2} = \frac{2}{9}$.
Это уравнение можно переписать так:
$2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0$,
т.е.
$2 \left ( \frac{x}{y} \right )^2 - 5 \frac{x}{y} + 2 = 0$,
откуда
либо $\frac{x}{y} = 2$, либо $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$ (1).
Очевидно, что эти отношения дают симметричные решения. Если предположить, что скорость автомобиля больше скорости мотоцикла, то $x = 2y$.
Используем оставшиеся условия задачи. Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, т. е. равнялась бы $x-20$ км/ч, то первая встреча произошла бы через 3 часа после начала движения. Получаем уравнение
$\frac{z}{x+y-20} = 3$. (2)
Мотоцикл до встречи преодолел бы в этом случае расстояние в $3y$ км, а расстояние между пунктами первой и второй встреч составило бы $\frac{3yx}{x+y-20}$. Получаем третье уравнение:
$\frac{3yx}{x+y-20} = 60$ (3).
Подставим в это уравнение $x = 2y$. Получим квадратное уравнение, корнями которого являются $y_1 = 20, y_2 = 10$. Второе значение не подходит, так как тогда $x_2 = 20$ и $x-20 = 0$, что не имеет для нашей задачи физического смысла.
Итак, $y = 20$ км/ч, $x=40$ км/ч, а из уравнения (2) найдем, что $z = 120$ км.
Ответ. 120 км.
