ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Сосуд, содержащий $p$%-ный раствор кислоты, долили доверху $q$%-ным раствором кислоты и после перемешивания отлили то же количество. Проделав эту операцию $k$ раз, получили $r%$-ный раствор. Какую часть объема сосуда занимал первоначальный раствор.


Решение:


Обозначим через $x$ часть сосуда занимаемую раствором кислоты, а объем всего сосуда примем за единицу. После того как сосуд долили 9%-ным раствором, количество концентрированной кислоты стало

$\frac{px}{100} + \frac {q(1-x)}{100}$,

а новая концентрация

$p_1 = px + q(1-x) = (p-q)x + q$.

Если вместо $p$ подставить $p_1$, то получим $p_2$, аналогично можно получить $p_3$ и т.д. Приходим к рекуррентному соотношению

$p_k = x(p_{k-1} - q) + q$.

Вычислим $p_2$:

$p_2 = x(p_1 - q) + q = x^2 (p-q) + q$.

По индукции легко доказать, что

$p_k = x^k (p-q) + q$.

Так как $p_k = r$, то получим уравнение

$r = x^k (p-q) + q$,

откуда

$x = \sqrt [k]{\frac {r-q}{p-q}}$.
Ответ. $\sqrt [k]{\frac {r-q}{p-q}}$, где либо $r>q, p>q$, либо $r < q, p < q$.