ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Три пловца должны проплыть из $A$ в $B$ и обратно. Сначала стартует первый, через 5 секунд - второй, еще через 5 секунд - третий. Некоторую точку $C$, находящуюся между пунктами $A$ и $B$, все пловцы миновали одновременно (до этого времени ни один из них в $B$ не побывал). Третий пловец, доплыв до $B$ и повернув назад, встречает второго в 9 м от а первого - в 15 м от $B$. Найти скорость третьего пловца, если расстояние $AB$ равно 55 м.


Решение:



Пусть $v_1, v_2$ и $v_3$ - скорости пловцов, а $x$ - расстояние $AC$ (рис.). Приравниваем времена, затраченные пловцами на путь $AC$:

$\frac{x}{v_3} + 10 = \frac{x}{v_2} + 5 = \frac{x}{v_1}$ (1).

Из условия встречи в точке $D$ третьего и второго пловцов получим

$\frac{64}{v_3} + 5 = \frac{46}{v_2}$, (2)

а в точке $E$ третьего и первого:

$\frac{70}{v_3} + 10 = \frac{40}{v_1}$. (3)

Так как в уравнение (2) входят $v_2$ и $v_3$, а в уравнение (3) $v_1$ и $v_3$, то уравнения (1) перепишем в виде

$\left.\begin{matrix}
\frac{1}{v_3} - \frac{1}{v_3} = \frac{5}{x} \\ \frac{1}{v_1} - \frac{1}{v_3} = \frac{10}{x} \end{matrix}\right\}$ (4).

Преобразуем теперь уравнения (2) и (3):

$46 \left ( \frac{1}{v_2} - \frac{1}{v_3} \right ) = \frac{18}{v_3} + 5$,
$4 \left ( \frac{1}{v_1} - \frac{1}{v_3} \right ) = \frac{3}{v_3} + 1$,

и воспользуемся заменой (4). Получим систему

$\begin{cases} 46 \frac{5}{x} = \frac{18}{v_3} + 5 \\ 4 \frac{10}{x} = \frac{3}{v_3} + 1 \end{cases}$,

из которой проще исключить $v_3$. Найдем $x=10$. Следовательно, $v_3 = 1$.
Ответ. 1 м/сек.