ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Некоторую часть маршрута туристам предстоит совершить вверх по реке. B их распоряжении моторная лодка, способная развивать две скорости с разным расходом горючего. Если скорость течения реки окажется равной и км/ч, то при движении на любой из собственных скоростей будет затрачено одинаковое количество горючего. Если же скорость течения в $k$ раз больше ($k > 1$), то при движении с собственной скоростью $v_1$ горючее будет израсходовано полностью, а при движении с собственной скоростью $v_2$ останется $A$ кг горючего. Какое количество горючего будет затрачено на весь путь?


Решение:


Примем расстояние, которое туристам нужно пройти на моторной лодке, за единицу. Через $x$ кг/ч обозначим расход горючего в течение часа работы двигателя в режиме, обеспечивающем собственную скорость лодки $v_1$, а через $y$ кг/ч - расход горючего при работе двигателя во втором режиме ($v_2$). Весь путь лодка пройдет за $\frac{1}{v_1-u}$ и $\frac{1}{v_2-u}$ часов при работе двигателя в первом и во втором режимах соответственно. Так как расход горючего будет одинаковым, то

$\frac{x}{v_1-u} = \frac{y}{v_2-u}$.

Если скорость течения реки будет равна $ku$ то из условия получим второе уравнение

$\frac{x}{v_1-ku} - \frac{y}{v_3-ku} = A$.

Найдя из первого уравнения $x$, подставим во второе. Получим

$y \left [\frac {v_1 - u}{(v_2 - u)(v_1 - ku)} - \frac {1}{v_2 - ku} \right ] = A$,

откуда

$y = \frac {A (v_2 - u)(v_1 - ku)(v_2 - ku)}{u(k-1)(v_2 - v_1)}$.

Так как $k>1$, то $y>0$ только при $v_2 > v_1$ и $ku < v_1$.
Общий расход горючего равен $\frac{y}{v_2 - u}$.
Ответ. $\frac {A (v_1 - ku)(v_2 - ku)}{u(k-1)(v_2 - v_1)}, ku < v_1 < v_2$.