Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 255
2014-06-07 
На координатной плоскости найти выпуклое множество, которое содержит бесконечно много точек с обеими целочисленными координатами, но в пересечении с любой прямой содержит лишь конечное (или пустое) множество таких точек.
Решение:
Условию задачи удовлетворяет, например, множество на координатной плоскости, представляющее собой полосу
$M = \{ (x;y) | \sqrt{2}x – 1 \leq y \leq \sqrt{2}x \}$.
В самом деле, это множество содержит бесконечно много целочисленных точек вида $(x; [\sqrt{2}x])$ при $x \in \mathbf{Z}$. С другой стороны, любая прямая $y = kx + b$ в случае $k = \sqrt{2}$ содержит не более одной целочисленной точки (иначе число
$|(\sqrt{2}x_{1} + b) – (\sqrt{2}x_{2} + b)| = \sqrt{2}|x_{1} – x_{2}|$
было бы целым при $|x_{1} – x_{2}| \in \mathbf{N}$, что противоречило бы иррациональности числа $\sqrt{2}$), а в случае $k \neq \sqrt{2}$ пересекает множество М по некоторому отрезку, который не может содержать бесконечно много целочисленных точек.
Замечание. Можно доказать, что полоса, лежащая между любыми двумя параллельными прямыми $y = kx + b_{1}$ и $y = kx + b_{2}$ - с иррациональным значением k, всегда содержит бесконечно много целочисленных точек (какой бы малой ни была разность $|b_{1} – b_{2}|$. Таким образом, любая такая полоса удовлетворяет условию задачи.
На координатной плоскости найти выпуклое множество, которое содержит бесконечно много точек с обеими целочисленными координатами, но в пересечении с любой прямой содержит лишь конечное (или пустое) множество таких точек.
Решение:
Условию задачи удовлетворяет, например, множество на координатной плоскости, представляющее собой полосу
$M = \{ (x;y) | \sqrt{2}x – 1 \leq y \leq \sqrt{2}x \}$.
В самом деле, это множество содержит бесконечно много целочисленных точек вида $(x; [\sqrt{2}x])$ при $x \in \mathbf{Z}$. С другой стороны, любая прямая $y = kx + b$ в случае $k = \sqrt{2}$ содержит не более одной целочисленной точки (иначе число
$|(\sqrt{2}x_{1} + b) – (\sqrt{2}x_{2} + b)| = \sqrt{2}|x_{1} – x_{2}|$
было бы целым при $|x_{1} – x_{2}| \in \mathbf{N}$, что противоречило бы иррациональности числа $\sqrt{2}$), а в случае $k \neq \sqrt{2}$ пересекает множество М по некоторому отрезку, который не может содержать бесконечно много целочисленных точек.
Замечание. Можно доказать, что полоса, лежащая между любыми двумя параллельными прямыми $y = kx + b_{1}$ и $y = kx + b_{2}$ - с иррациональным значением k, всегда содержит бесконечно много целочисленных точек (какой бы малой ни была разность $|b_{1} – b_{2}|$. Таким образом, любая такая полоса удовлетворяет условию задачи.
