Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2549
2019-03-30 
Цена брильянта пропорциональна квадрату его веса. Брильянт весом в $р$ карат был разбит на две части, после чего его стоимость уменьшилась в $k$ раз. Найти вес частей, на которые был разбит брильянт.
Решение:
Пусть одна часть весит $x$ карат, тогда другая весит $p-x$ карат. Цена этих частей равна $lx^2$ и $l(p-x)^2$ соответственно, где $l$ - коэффициент пропорциональности. Так как цена целого брильянта была равна $lp^2$ то получим уравнение
$lp^2 = k [lx^2 + l(p-x)^2]]$,
которое после упрощений примет вид
$2kx^2 - 2 kpx + p^2 (k-1) = 0$,
$x_{1,2} = \frac{1}{2k} (kp \pm \sqrt {kp^2 (2-k)})$.
Проведем исследование.
По смыслу задачи $k>1, p>0$. Следовательно, подкоренное выражение будет неотрицательным, если $k \leq 2$, т. е. $1< k \leq 2$.
Так как
$\sqrt {kp^2 (2-k)} = \sqrt {k^2p^2 - 2kp^2(k-1)} < kp$
(мы знаем, что $k>1$), то оба значения $x$ неотрицательны, Легко проверить, что $p-x_1 = x_2$.
Ответ. $\frac{1}{2} p \left (1 - \sqrt { \frac{2}{k} - 1} \right ); \frac{1}{2} p \left (1 + \sqrt { \frac{2}{k} - 1} \right ), 1 < k \leq 2$.
Цена брильянта пропорциональна квадрату его веса. Брильянт весом в $р$ карат был разбит на две части, после чего его стоимость уменьшилась в $k$ раз. Найти вес частей, на которые был разбит брильянт.
Решение:
Пусть одна часть весит $x$ карат, тогда другая весит $p-x$ карат. Цена этих частей равна $lx^2$ и $l(p-x)^2$ соответственно, где $l$ - коэффициент пропорциональности. Так как цена целого брильянта была равна $lp^2$ то получим уравнение
$lp^2 = k [lx^2 + l(p-x)^2]]$,
которое после упрощений примет вид
$2kx^2 - 2 kpx + p^2 (k-1) = 0$,
$x_{1,2} = \frac{1}{2k} (kp \pm \sqrt {kp^2 (2-k)})$.
Проведем исследование.
По смыслу задачи $k>1, p>0$. Следовательно, подкоренное выражение будет неотрицательным, если $k \leq 2$, т. е. $1< k \leq 2$.
Так как
$\sqrt {kp^2 (2-k)} = \sqrt {k^2p^2 - 2kp^2(k-1)} < kp$
(мы знаем, что $k>1$), то оба значения $x$ неотрицательны, Легко проверить, что $p-x_1 = x_2$.
Ответ. $\frac{1}{2} p \left (1 - \sqrt { \frac{2}{k} - 1} \right ); \frac{1}{2} p \left (1 + \sqrt { \frac{2}{k} - 1} \right ), 1 < k \leq 2$.
