Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2543
2019-03-30 
Найти геометрическое место точек $z$ комплексной плоскости, для которых $Re \left (z - \frac{1}{z} \right ) = 0$.
Решение:
Пусть $z = x + yi$. Тогда
$Re \left (z - \frac{1}{z} \right ) = Re \left (z - \frac {\bar{z}}{|z|^2} \right ) = x - \frac {x}{x^2 + y^2} = \frac {x(x^2+y^2-1)}{x^2+y^2}$.
Приравняв $Re \left (z - \frac{1}{z} \right )$ нулю, получим
$\begin{cases} x (x^2+y^2 - 1) = 0 \\ x^2 + y^2 \neq 0 \end{cases}$.
Если $x = 0$, то $y \neq 0$. Это - мнимая ось с выколотой точкой в начале координат. Bторая возможность $x^2 + y^2 = 1$, т. е. окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице.
Ответ. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат и мнимая ось с выколотым началом координат.
Найти геометрическое место точек $z$ комплексной плоскости, для которых $Re \left (z - \frac{1}{z} \right ) = 0$.
Решение:
Пусть $z = x + yi$. Тогда
$Re \left (z - \frac{1}{z} \right ) = Re \left (z - \frac {\bar{z}}{|z|^2} \right ) = x - \frac {x}{x^2 + y^2} = \frac {x(x^2+y^2-1)}{x^2+y^2}$.
Приравняв $Re \left (z - \frac{1}{z} \right )$ нулю, получим
$\begin{cases} x (x^2+y^2 - 1) = 0 \\ x^2 + y^2 \neq 0 \end{cases}$.
Если $x = 0$, то $y \neq 0$. Это - мнимая ось с выколотой точкой в начале координат. Bторая возможность $x^2 + y^2 = 1$, т. е. окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице.
Ответ. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат и мнимая ось с выколотым началом координат.
