Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2542
2019-03-30 
Найти геометрическое место точек $z$ комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству $|z+ i| \leq 1$.
Решение:
Первый способ. Пусть $z = x + yi$. Тогда
$|x + (y+1)i| \leq 1, \sqrt {x + (y+1)^2} \leq 1$.
Cлева записано расстояние между точкой с координатами $(x, y)$ и точкой с координатами $(0, -1)$. Следовательно, геометрическое место точек есть круг с центром в точке (0, -1) и радиусом, равным единице (круг взят вместе с ограничивающей его окружностью).
Второй способ. Перепишем неравенство в виде
$|z - (-i)| \leq 1$.
Мы знаем, что модуль разности двух комплексных чисел $z$ и $-i$ равен длине отрезка, соединяющего точки $z$ и $-i$. Следовательно, длина этого отрезка не должна быть больше единицы, т. е. геометрическое место точек - круг радиуса единица с центром в точке $-i$, взятый вместе с границей.
Найти геометрическое место точек $z$ комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству $|z+ i| \leq 1$.
Решение:
Первый способ. Пусть $z = x + yi$. Тогда
$|x + (y+1)i| \leq 1, \sqrt {x + (y+1)^2} \leq 1$.
Cлева записано расстояние между точкой с координатами $(x, y)$ и точкой с координатами $(0, -1)$. Следовательно, геометрическое место точек есть круг с центром в точке (0, -1) и радиусом, равным единице (круг взят вместе с ограничивающей его окружностью).
Второй способ. Перепишем неравенство в виде
$|z - (-i)| \leq 1$.
Мы знаем, что модуль разности двух комплексных чисел $z$ и $-i$ равен длине отрезка, соединяющего точки $z$ и $-i$. Следовательно, длина этого отрезка не должна быть больше единицы, т. е. геометрическое место точек - круг радиуса единица с центром в точке $-i$, взятый вместе с границей.
