Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2540
2019-03-30 
Решить в комплексных числах систему уравнений $\begin{cases} z^{13}w^{19} = 1 \\ z^5w^7 = 1 \\ z^2 + w^2 = -2 \end{cases}$.
Решение:
Второе уравнение после возведения в третью степень примет вид
$z^{15}w^{21} = 1$.
Сравнивая это уравнение с первым уравнением системы, получим
$z^2w^2 = 1$.
Остается решить систему
$\begin{cases} z^2w^2 = 1 \\ z^2 + w^2 = -2 \end{cases}$,
откуда находим, что $z^2 = -1, w^2 = -1$.
Проверяем, какие из систем
$\begin{cases} z = i \\ w = i \end{cases}, \begin{cases} z = i \\ w = - i \end{cases}, \begin{cases} z = - i \\ w = i \end{cases}, \begin{cases} z = -i \\ w = -i \end{cases}$
являются решениями. Получаем два решения.
Ответ. $\begin{cases} z_1 = i \\ w_1 = i \end{cases}, \begin{cases} z_2 = - i \\ w_2 = - i \end{cases}$.
Решить в комплексных числах систему уравнений $\begin{cases} z^{13}w^{19} = 1 \\ z^5w^7 = 1 \\ z^2 + w^2 = -2 \end{cases}$.
Решение:
Второе уравнение после возведения в третью степень примет вид
$z^{15}w^{21} = 1$.
Сравнивая это уравнение с первым уравнением системы, получим
$z^2w^2 = 1$.
Остается решить систему
$\begin{cases} z^2w^2 = 1 \\ z^2 + w^2 = -2 \end{cases}$,
откуда находим, что $z^2 = -1, w^2 = -1$.
Проверяем, какие из систем
$\begin{cases} z = i \\ w = i \end{cases}, \begin{cases} z = i \\ w = - i \end{cases}, \begin{cases} z = - i \\ w = i \end{cases}, \begin{cases} z = -i \\ w = -i \end{cases}$
являются решениями. Получаем два решения.
Ответ. $\begin{cases} z_1 = i \\ w_1 = i \end{cases}, \begin{cases} z_2 = - i \\ w_2 = - i \end{cases}$.
