Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 254
2014-06-07 
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$, большего некоторого числа $n_{0}$, всю плоскость можно разбить на $n$ частей, проведя несколько прямых, среди которых обязательно есть пересекающиеся. Найти наименьшее из таких значений $n_{0}$.
Решение:
Рис.1
Рис.2
Рис.3
Среди проведенных прямых по условию обязательно есть две пересекающиеся, которые уже делят плоскость на 4 части. Если провести еще одну прямую, то, как показывает несложный перебор случаев ее расположения, число частей увеличится по крайней мере на 2. Поэтому ровно 5 частей получиться не может, откуда $n_{0} \geq 5$. С другой стороны, любое число $n > 5$ частей можно получить требуемым способом: если $n = 2k (k \in \mathbf{N})$, то разбиение плоскости можно построить так, как показано на рис. 1, если же $n = 4k + 3$, то см. рис. 2. а если $n = 4k + 5$, то см. рис. 3. Таким образом, наименьшее значение $n_{0}$ равно 5.
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$, большего некоторого числа $n_{0}$, всю плоскость можно разбить на $n$ частей, проведя несколько прямых, среди которых обязательно есть пересекающиеся. Найти наименьшее из таких значений $n_{0}$.
Решение:
Рис.1
Рис.2
Рис.3
Среди проведенных прямых по условию обязательно есть две пересекающиеся, которые уже делят плоскость на 4 части. Если провести еще одну прямую, то, как показывает несложный перебор случаев ее расположения, число частей увеличится по крайней мере на 2. Поэтому ровно 5 частей получиться не может, откуда $n_{0} \geq 5$. С другой стороны, любое число $n > 5$ частей можно получить требуемым способом: если $n = 2k (k \in \mathbf{N})$, то разбиение плоскости можно построить так, как показано на рис. 1, если же $n = 4k + 3$, то см. рис. 2. а если $n = 4k + 5$, то см. рис. 3. Таким образом, наименьшее значение $n_{0}$ равно 5.
