ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Решить при всех неотрицательных значениях $а$ уравнение $z |z| + az + i = 0$.


Решение:


Положим $z = x + yi$, тогда $|z| = \sqrt {x^2 + y^2}$, а уравнение примет вид

$(x+yi) \sqrt {x^2 + y^2} + a (x + yi) + i = 0$.

Приравнивая нулю действительную и мнимую части, придем к системе

$\begin{cases} x \sqrt {x^2 + y^2} + ax = 0 \\ y \sqrt {x^2 + y^2} + ay + 1 = 0 \end{cases}$.

Первое уравнение можно записать в виде $x(\sqrt {x^2 + y^2} + a) = 0$.
Если $x=0$, то второе уравнение будет таким:

$y |y| + ay + 1 = 0$.

Когда $y \geq 0$, получим уравнение

$y^2 + ay + 1 = 0$,

оба решения которого $y_{1,2} = \frac {-a \pm \sqrt {a^2 - 4}}{2}$ либо не существуют, либо, отрицательны, так как по условию $a \geq 0$. Это противоречит предположению, что $y \geq 0$. Следовательно, при $y \geq 0$ решений нет.
Когда $y < 0$, получим уравнение

$y^2 - ay - 1 = 0$

с корнями $y_{1,2} = \frac {a \pm \sqrt {a^2 + 4}}{2}$.

Так как $a \geq 0$, то условию $y < 0$ удовлетворяет только один корень $y_1 = \frac {a - \sqrt {a^2 + 1}}{2} < 0$.
Получаем решение данного уравнения

$z = \frac {a - \sqrt {a^2 + 4}}{2} i$.

Oсталось рассмотреть случай, когда $\sqrt {x^2 + y^2} + a = 0$. Поскольку $a \geq 0$, то это равенство возможно лишь при $x = y = a = 0$. Однако при этом второе уравнение системы

$y \sqrt {x^2 + y^2} + ay + 1 = 0$

не удовлетворяется.
Ответ. $z = \frac {a - \sqrt {a^2 + 4}}{2} i$.