Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2538
2019-03-30 
Найти все комплексные числа $z$, удовлетворяющие равенству $\bar{z} = z^{n-1}$, где комплексное число, сопряженное числу $z$, а $n$ - натуральное.
Решение:
Мы знаем, что $|\bar{z}| = |z|$, а данное в условии равенство дает нам еще одно соотношение
$|\bar{z}| = |z^{n-1}|$.
Так как $|z^{n-1}| = |z|^{n-1}$, то $|z| = |z|^{n-1}$, откуда либо $|z| = 0$, (если $n \neq 1$), и тогда $z = 0$, либо $|z| = 1$.
B последнем случае умножим данное в условии равенство на $z$:
$z \cdot \bar{z} = z^n$.
Так как $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = 1$, то
$z^n = 1, z = \sqrt [n]{\cos 2 \pi k + i \sin 2 \pi k} = \cos {\frac {2 \pi k}{n}} + i \sin {\frac {2 \pi k}{n}}$.
Ответ. $z = 0$ (если $n \neq 1$), $z = \cos {\frac {2 \pi k}{n}} + i \sin {\frac {2 \pi k}{n}}, k = 0, 1, 2, \cdots, n-1$.
Найти все комплексные числа $z$, удовлетворяющие равенству $\bar{z} = z^{n-1}$, где комплексное число, сопряженное числу $z$, а $n$ - натуральное.
Решение:
Мы знаем, что $|\bar{z}| = |z|$, а данное в условии равенство дает нам еще одно соотношение
$|\bar{z}| = |z^{n-1}|$.
Так как $|z^{n-1}| = |z|^{n-1}$, то $|z| = |z|^{n-1}$, откуда либо $|z| = 0$, (если $n \neq 1$), и тогда $z = 0$, либо $|z| = 1$.
B последнем случае умножим данное в условии равенство на $z$:
$z \cdot \bar{z} = z^n$.
Так как $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = 1$, то
$z^n = 1, z = \sqrt [n]{\cos 2 \pi k + i \sin 2 \pi k} = \cos {\frac {2 \pi k}{n}} + i \sin {\frac {2 \pi k}{n}}$.
Ответ. $z = 0$ (если $n \neq 1$), $z = \cos {\frac {2 \pi k}{n}} + i \sin {\frac {2 \pi k}{n}}, k = 0, 1, 2, \cdots, n-1$.
