Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2537
2019-03-30 
Вычислить значение выражения $z^{167} + \frac{1}{z^{167}}$ для $z$, удовлетворяющего уравнению $z + \frac{1}{z} = 1$.
Решение:
По условию $z$ удовлетворяет уравнению $z^2 - z + 1 = 0$, т. е. $z^3 = -1$. Поскольку
$z^{167} = (z^3)^{55} \cdot z^2 = -z^2$,
то нужно вычислить значение выражения
$- z^2 - \frac{1}{z^2} = - \left ( z^2 + \frac{1}{z^2} \right )$.
Возведем уравнение $z + \frac{1}{z} = 1$ в квадрат и найдем, что
$z^2 + \frac{1}{z^2} = -1$.
Ответ. 1.
Вычислить значение выражения $z^{167} + \frac{1}{z^{167}}$ для $z$, удовлетворяющего уравнению $z + \frac{1}{z} = 1$.
Решение:
По условию $z$ удовлетворяет уравнению $z^2 - z + 1 = 0$, т. е. $z^3 = -1$. Поскольку
$z^{167} = (z^3)^{55} \cdot z^2 = -z^2$,
то нужно вычислить значение выражения
$- z^2 - \frac{1}{z^2} = - \left ( z^2 + \frac{1}{z^2} \right )$.
Возведем уравнение $z + \frac{1}{z} = 1$ в квадрат и найдем, что
$z^2 + \frac{1}{z^2} = -1$.
Ответ. 1.
