Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2536
2019-03-30 
Найти модуль и все аргументы мнимого числа $z$, если $z + \frac{1}{z} = a$ где $а$ - данное отрицательное число. При каких значениях $а$ решение этой задачи возможно?
Решение:
Пусть $z = r (\cos \phi + i \sin \phi)$. Тогда
$z+ \frac{1}{z} = r (\cos \phi + i \sin \phi) + [r (\cos \phi + i \sin \phi)]^{-1} = r (\cos \phi + i \sin \phi) + \frac {\cos \phi + i \sin \phi}{r} = \left ( r + \frac{1}{r} \right ) \cos \phi + \left ( r - \frac{1}{r} \right ) i \sin \phi$.
Это выражение равно действительному числу $a$. Следовательно,
$\left ( r - \frac{1}{r} \right ) i \sin \phi = 0$.
Однако в условии сказано, что $z$ - число мнимое. Поэтому $\sin \phi \neq 0$. Остается
$r - \frac{1}{r} = 0$, откуда $r^2 = 1, r = 1$.
Условие $z + \frac{1}{z} = a$ теперь упростилось и приняло вид простого тригонометрического уравнения
$2 \cos \phi = a$,
откуда находим $\phi$ и ограничения на $a$.
Ответ. $r = 1, \phi = \pm \arccos \frac{a}{2} + 2 \pi k$ при $-2 \leq a < 0$.
Найти модуль и все аргументы мнимого числа $z$, если $z + \frac{1}{z} = a$ где $а$ - данное отрицательное число. При каких значениях $а$ решение этой задачи возможно?
Решение:
Пусть $z = r (\cos \phi + i \sin \phi)$. Тогда
$z+ \frac{1}{z} = r (\cos \phi + i \sin \phi) + [r (\cos \phi + i \sin \phi)]^{-1} = r (\cos \phi + i \sin \phi) + \frac {\cos \phi + i \sin \phi}{r} = \left ( r + \frac{1}{r} \right ) \cos \phi + \left ( r - \frac{1}{r} \right ) i \sin \phi$.
Это выражение равно действительному числу $a$. Следовательно,
$\left ( r - \frac{1}{r} \right ) i \sin \phi = 0$.
Однако в условии сказано, что $z$ - число мнимое. Поэтому $\sin \phi \neq 0$. Остается
$r - \frac{1}{r} = 0$, откуда $r^2 = 1, r = 1$.
Условие $z + \frac{1}{z} = a$ теперь упростилось и приняло вид простого тригонометрического уравнения
$2 \cos \phi = a$,
откуда находим $\phi$ и ограничения на $a$.
Ответ. $r = 1, \phi = \pm \arccos \frac{a}{2} + 2 \pi k$ при $-2 \leq a < 0$.
