Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2535
2019-03-30 
Представить в тригонометрической форме комплексное число $z = (1 - \cos \alpha + i \sin \alpha)^n$, где $n$ - целое число, не равное нулю.
Решение:
Преобразуем выражение, стоящее в скобках:
$1 - \cos \alpha + i \sin \alpha = 2 \sin^2 \frac{ \alpha}{2} + i \cdot 2 \sin \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{ \alpha}{2} = 2 \sin \frac{ \alpha}{2} \left ( \sin \frac{ \alpha}{2} + i \cos \frac{ \alpha}{2} \right ) = 2 \sin \frac{ \alpha}{2} \left [\cos \left ( \frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2} \right ) + i \sin \left ( \frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2} \right ) \right ]$.
B квадратных скобках стоит комплексное число, записанное в тригонометрической форме. Поэтому
$z = 2^n \sin^n \frac{ \alpha}{2} \left [ \cos \left (n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) + i \sin \left (n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) \right ]$.
Так как нуль не может быть представлен в тригонометрической форме, то $\alpha \neq 2 \pi m$.
Если $n = 2k$, то $2^n \sin^n \frac{ \alpha}{2} > 0$, и тригонометрическая форма числа $z$ получена.
Если $n = 2k + 1$, то нужно рассмотреть случаи, позволяющие определить знак $\sin \frac{ \alpha}{2}$. Когда $\sin \frac{ \alpha}{2} > 0$, т. е. $4 \pi m < \alpha < 2 \pi (2m+1)$, то найденное выражение снова есть тригонометрическая форма числа $z$. Когда $\sin \frac{ \alpha}{2} < 0$, т. е. $2 \pi (2m - 1) < \alpha < 4 \pi m$, придется сделать дальнейшие преобразования:
$z = -2^n \sin^n \frac{ \alpha}{2} \left [- \cos \left (n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) - i \sin \left (n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) \right ] = -2^n \sin^n \frac{ \alpha}{2} \left [\cos \left (\pi + n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) + i \sin \left (\pi + n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) \right ]$,
что уже является тригонометрической формой числа $z$.
Ответ. $2^n \sin^n \frac{ \alpha}{2} \left [\cos \left (n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) + i \sin \left (n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) \right ]$, если либо $n = 2k, \alpha \neq 2 \pi m$ либо $n = 2k + 1, 4 \pi m < \alpha < 2 \pi (2m+1)$;
$-2^n \sin^n \frac{\alpha}{2} \left [\cos \left (\pi + n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) + i \sin \left (\pi + n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) \right ]$, если $n = 2k + 1, 2 \pi (2m - 1) < \alpha < 4 \pi m$.
Представить в тригонометрической форме комплексное число $z = (1 - \cos \alpha + i \sin \alpha)^n$, где $n$ - целое число, не равное нулю.
Решение:
Преобразуем выражение, стоящее в скобках:
$1 - \cos \alpha + i \sin \alpha = 2 \sin^2 \frac{ \alpha}{2} + i \cdot 2 \sin \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{ \alpha}{2} = 2 \sin \frac{ \alpha}{2} \left ( \sin \frac{ \alpha}{2} + i \cos \frac{ \alpha}{2} \right ) = 2 \sin \frac{ \alpha}{2} \left [\cos \left ( \frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2} \right ) + i \sin \left ( \frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2} \right ) \right ]$.
B квадратных скобках стоит комплексное число, записанное в тригонометрической форме. Поэтому
$z = 2^n \sin^n \frac{ \alpha}{2} \left [ \cos \left (n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) + i \sin \left (n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) \right ]$.
Так как нуль не может быть представлен в тригонометрической форме, то $\alpha \neq 2 \pi m$.
Если $n = 2k$, то $2^n \sin^n \frac{ \alpha}{2} > 0$, и тригонометрическая форма числа $z$ получена.
Если $n = 2k + 1$, то нужно рассмотреть случаи, позволяющие определить знак $\sin \frac{ \alpha}{2}$. Когда $\sin \frac{ \alpha}{2} > 0$, т. е. $4 \pi m < \alpha < 2 \pi (2m+1)$, то найденное выражение снова есть тригонометрическая форма числа $z$. Когда $\sin \frac{ \alpha}{2} < 0$, т. е. $2 \pi (2m - 1) < \alpha < 4 \pi m$, придется сделать дальнейшие преобразования:
$z = -2^n \sin^n \frac{ \alpha}{2} \left [- \cos \left (n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) - i \sin \left (n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) \right ] = -2^n \sin^n \frac{ \alpha}{2} \left [\cos \left (\pi + n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) + i \sin \left (\pi + n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) \right ]$,
что уже является тригонометрической формой числа $z$.
Ответ. $2^n \sin^n \frac{ \alpha}{2} \left [\cos \left (n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) + i \sin \left (n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) \right ]$, если либо $n = 2k, \alpha \neq 2 \pi m$ либо $n = 2k + 1, 4 \pi m < \alpha < 2 \pi (2m+1)$;
$-2^n \sin^n \frac{\alpha}{2} \left [\cos \left (\pi + n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) + i \sin \left (\pi + n \frac {\pi - \alpha}{2} \right ) \right ]$, если $n = 2k + 1, 2 \pi (2m - 1) < \alpha < 4 \pi m$.
