Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2534
2019-03-30 
Найти аргумент комплексного числа $x^2 - z$, если $z = \cos \varphi + i \sin \varphi \neq 1$.
Решение:
Применим формулу Mуавра
$z^2 - z = \cos 2\phi + i \sin 2 \phi - \cos \phi - i \sin \phi = (\cos 2 \phi - \cos \phi) + i (\sin 2\phi - \sin \phi)$.
Преобразуем действительную и мнимую части в произведение
$z^2 - z = - 2 \sin \frac{ \phi}{2} \sin \frac{3\phi}{2} + 2 i \sin \frac{\phi}{2} \cos \frac{3\phi}{2} = 2 \sin \frac{\phi}{2} \left (- \sin \frac{3\phi}{2} + i \cos \frac{3\phi}{2} \right )$.
Так как $\sin^2 \frac{3\phi}{2} + \cos^2 \frac{3\phi}{2} = 1$, то $\left | 2 \sin \frac{\phi}{2} \right |$ будет модулем числа $z^2 - z$. Рассмотрим два случая, позволяющих определить знак $\sin \frac{\phi}{2}$.
Если $4n \pi < \phi < 2 \pi + 4n \pi$, то $\left | \sin \frac{\phi}{2} \right | = \sin \frac{\phi}{2}$. Тогда
$z^2 - z = 2 \sin \frac{ \phi}{2} \left [\sin \left (- \frac{3\phi}{2} \right ) + i \cos \left (- \frac{ 3\phi}{2} \right ) \right ] = 2 \sin \frac{ \phi}{2} \left [\cos \left ( \frac{\phi}{2} + \frac{3\phi}{2} \right ) + i \sin \left ( \frac{\phi}{2} + \frac{ 3 \phi}{2} \right ) \right ]$.
В этом случае аргумент числа $z^2 - z$ равен $\frac{ \pi}{2} + \frac{3\phi}{2} + 2 k \pi$.
Если $2 \pi + 4 n \pi < \phi < 4 \pi + 4 n \pi$, то $\left | \sin \frac{ \phi}{2} \right | = -\sin \frac{ \phi}{2}$.
Таким, образом,
$z^2 - z = - 2 \sin \frac{ \phi}{2} \left (\sin \frac{ 3 \phi}{2} - i \cos \frac{ 3 \phi}{2} \right ) = - 2 \sin \frac{\phi}{2} \left [\cos \left ( \frac{3\phi}{2} + \frac{3\phi}{2} \right ) + i \sin \left ( \frac{3\phi}{2} + \frac{ 3\phi}{2} \right ) \right ]$,
и аргумент $z^2 - z$ равен $\frac{ 3 \pi}{2} + \frac{ 3 \phi}{2} + 2k \pi$.
Ответ. $arg (z^2-z) = \begin{cases} \frac{ \pi}{2} + \frac{3\phi}{2} + 2 k \pi & если 4 n \pi < \phi < 2 \pi + 4n \pi \\ \frac{3 \pi}{2} + \frac{3 \phi}{2} + 2 k \pi & если 2 \pi + 4 n \pi < \phi < 4 \pi + 4n \pi \end{cases}$.
Найти аргумент комплексного числа $x^2 - z$, если $z = \cos \varphi + i \sin \varphi \neq 1$.
Решение:
Применим формулу Mуавра
$z^2 - z = \cos 2\phi + i \sin 2 \phi - \cos \phi - i \sin \phi = (\cos 2 \phi - \cos \phi) + i (\sin 2\phi - \sin \phi)$.
Преобразуем действительную и мнимую части в произведение
$z^2 - z = - 2 \sin \frac{ \phi}{2} \sin \frac{3\phi}{2} + 2 i \sin \frac{\phi}{2} \cos \frac{3\phi}{2} = 2 \sin \frac{\phi}{2} \left (- \sin \frac{3\phi}{2} + i \cos \frac{3\phi}{2} \right )$.
Так как $\sin^2 \frac{3\phi}{2} + \cos^2 \frac{3\phi}{2} = 1$, то $\left | 2 \sin \frac{\phi}{2} \right |$ будет модулем числа $z^2 - z$. Рассмотрим два случая, позволяющих определить знак $\sin \frac{\phi}{2}$.
Если $4n \pi < \phi < 2 \pi + 4n \pi$, то $\left | \sin \frac{\phi}{2} \right | = \sin \frac{\phi}{2}$. Тогда
$z^2 - z = 2 \sin \frac{ \phi}{2} \left [\sin \left (- \frac{3\phi}{2} \right ) + i \cos \left (- \frac{ 3\phi}{2} \right ) \right ] = 2 \sin \frac{ \phi}{2} \left [\cos \left ( \frac{\phi}{2} + \frac{3\phi}{2} \right ) + i \sin \left ( \frac{\phi}{2} + \frac{ 3 \phi}{2} \right ) \right ]$.
В этом случае аргумент числа $z^2 - z$ равен $\frac{ \pi}{2} + \frac{3\phi}{2} + 2 k \pi$.
Если $2 \pi + 4 n \pi < \phi < 4 \pi + 4 n \pi$, то $\left | \sin \frac{ \phi}{2} \right | = -\sin \frac{ \phi}{2}$.
Таким, образом,
$z^2 - z = - 2 \sin \frac{ \phi}{2} \left (\sin \frac{ 3 \phi}{2} - i \cos \frac{ 3 \phi}{2} \right ) = - 2 \sin \frac{\phi}{2} \left [\cos \left ( \frac{3\phi}{2} + \frac{3\phi}{2} \right ) + i \sin \left ( \frac{3\phi}{2} + \frac{ 3\phi}{2} \right ) \right ]$,
и аргумент $z^2 - z$ равен $\frac{ 3 \pi}{2} + \frac{ 3 \phi}{2} + 2k \pi$.
Ответ. $arg (z^2-z) = \begin{cases} \frac{ \pi}{2} + \frac{3\phi}{2} + 2 k \pi & если 4 n \pi < \phi < 2 \pi + 4n \pi \\ \frac{3 \pi}{2} + \frac{3 \phi}{2} + 2 k \pi & если 2 \pi + 4 n \pi < \phi < 4 \pi + 4n \pi \end{cases}$.
