Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2533
2019-03-30 
Дано, что $z$ - комплексное число, не равное $\pm 1$. Доказать, что число $\frac {z-1}{z+1}$ будет чисто мнимым тогда и только тогда, когда $|z| = 1$.
Решение:
Пусть $z = a + bi$. Тогда
$\frac {z-1}{z+1} = \frac {(a-1) + bi}{(a+1) + bi}$.
Умножим числитель и знаменатель на число, комплексно сопряженное знаменателю:
$\frac {z-1}{z+1} = \frac {((a-1) + bi)((a+1) - bi)}{(a+1)^2 + b^2}$.
Действительная часть числа $\frac {z-1}{z+1} $ будет равна $\frac {a^2 - 1 + b^2}{(a+1)^2 + b^2}$, а мнимая часть $\frac {2b}{(a+1)^2 + b^2}$. Поэтому, $\frac {z-1}{z+1}$ будет чисто мнимым числом тогда и только тогда, когда $a^2 - 1 + b^2 = 0, 2b \neq 0, (a+1)^2 + b^2 \neq 0$. Третье из этих условий является следствием второго. Если $b = 0$ и $a^2-1+b^2 = 0$, то $z = a = \pm 1$, что противоречит условию. Поэтому остается только одно требование: $a^2 + b^2 = 1$, т. е. $|z| = 1$.
Дано, что $z$ - комплексное число, не равное $\pm 1$. Доказать, что число $\frac {z-1}{z+1}$ будет чисто мнимым тогда и только тогда, когда $|z| = 1$.
Решение:
Пусть $z = a + bi$. Тогда
$\frac {z-1}{z+1} = \frac {(a-1) + bi}{(a+1) + bi}$.
Умножим числитель и знаменатель на число, комплексно сопряженное знаменателю:
$\frac {z-1}{z+1} = \frac {((a-1) + bi)((a+1) - bi)}{(a+1)^2 + b^2}$.
Действительная часть числа $\frac {z-1}{z+1} $ будет равна $\frac {a^2 - 1 + b^2}{(a+1)^2 + b^2}$, а мнимая часть $\frac {2b}{(a+1)^2 + b^2}$. Поэтому, $\frac {z-1}{z+1}$ будет чисто мнимым числом тогда и только тогда, когда $a^2 - 1 + b^2 = 0, 2b \neq 0, (a+1)^2 + b^2 \neq 0$. Третье из этих условий является следствием второго. Если $b = 0$ и $a^2-1+b^2 = 0$, то $z = a = \pm 1$, что противоречит условию. Поэтому остается только одно требование: $a^2 + b^2 = 1$, т. е. $|z| = 1$.
