Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2532
2019-03-30 
Доказать, что модуль суммы двух комплексных чисел не превосходит суммы модулей этих чисел.
Решение:
Первый способ. Пусть $z_1 = z + yi$ и $z_{2} = u + vi$. Нужно доказать, что
$|(x+u) + i (y + v)| \leq |x + yi| + |u + vi|$
при любых $x, y, u, v$.
Предположим противное:
$\sqrt {(x + u)^2 + (y + v)^2} > \sqrt {x^2 + y^2} + \sqrt {u^2 + v^2}$.
После возведения обеих частей неравенства в квадрат (заметим, что обе части неравенства неотрицательны) и приведения подобных получим
$xu + yv > \sqrt {(x^2 + y^2)(u^2 + v^2)}$.
Если это неравенство верно, то его левая часть положительна, а потому его можно повторно возвести в квадрат. Получим
$x^2v^2 + y^2u^2 - 2xuyv < 0$,
т. е.
$(xv - yu)^2 < 0$,
что невозможно. Полученное противоречие доказывает сформулированное утверждение.
Второй способ. Пусть $z_1$ и $z_2$ (на рис. числу $z_1$ соответствует точка $A$, а числу $z_2$ - точка $B$) два произвольных комплексных числа. B силу неравенства треугольника $OC \leq OA + AC = OA + OB$, т.е. $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$.
Доказать, что модуль суммы двух комплексных чисел не превосходит суммы модулей этих чисел.
Решение:
Первый способ. Пусть $z_1 = z + yi$ и $z_{2} = u + vi$. Нужно доказать, что
$|(x+u) + i (y + v)| \leq |x + yi| + |u + vi|$
при любых $x, y, u, v$.
Предположим противное:
$\sqrt {(x + u)^2 + (y + v)^2} > \sqrt {x^2 + y^2} + \sqrt {u^2 + v^2}$.
После возведения обеих частей неравенства в квадрат (заметим, что обе части неравенства неотрицательны) и приведения подобных получим
$xu + yv > \sqrt {(x^2 + y^2)(u^2 + v^2)}$.
Если это неравенство верно, то его левая часть положительна, а потому его можно повторно возвести в квадрат. Получим
$x^2v^2 + y^2u^2 - 2xuyv < 0$,
т. е.
$(xv - yu)^2 < 0$,
что невозможно. Полученное противоречие доказывает сформулированное утверждение.
Второй способ. Пусть $z_1$ и $z_2$ (на рис. числу $z_1$ соответствует точка $A$, а числу $z_2$ - точка $B$) два произвольных комплексных числа. B силу неравенства треугольника $OC \leq OA + AC = OA + OB$, т.е. $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$.
