Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2531
2019-03-30 
Решить систему уравнений $\begin{cases} log_{(3x - 4y - 15)} (2x - y) = 1 \\ log_{(x+2y)} \cos [\pi (x+y)] = 0 \end{cases}$.
Решение:
Данная система равносильна такой:
$\begin{cases} 2x-y = 3x - 4y - 15 \\ 2x - y > 0 \\ 3x - 4y - 15 > 0 \\ 3x - 4y - 15 \neq 1 \\ \cos [\pi (x+y)] = 1 \\ x + 2y > 0 \\ x + 2y \neq 1 \end{cases}$.
Решая входящие сюда два уравнения, получим
$\begin{cases} x + y = 2n \\ x - 3y = 15 \end{cases}$, т.е. $x = \frac {6n+15}{4}, y = \frac {2n - 15}{4}$.
Из первого уравнения большой системы следует, что второе и третье неравенства выполняются одновременно. Поэтому достаточно потребовать
$\frac {2n-15}{4} > 0$, т.е. $n > - \frac{9}{2}$ или $n \geq -4$.
Аналогично убеждаемся, что условие $3x-4y-15 \neq 1$ выполняется при $n \neq - \frac{41}{10}$, т.е. всегда, ибо $n$ - целое.
Неравенство $x+2y>0$ справедливо при всех $n>1,5$, т.е. $n \geq 2$, а условие $x+2y \neq 1$ выполняется при $n \neq 1,9$, т.е. всегда.
Ответ. $\begin{cases} x = \frac {6n+15}{4} \\ y = \frac {2n - 15}{4} \end{cases}$, где $n = 2,3,4, \cdots$.
Решить систему уравнений $\begin{cases} log_{(3x - 4y - 15)} (2x - y) = 1 \\ log_{(x+2y)} \cos [\pi (x+y)] = 0 \end{cases}$.
Решение:
Данная система равносильна такой:
$\begin{cases} 2x-y = 3x - 4y - 15 \\ 2x - y > 0 \\ 3x - 4y - 15 > 0 \\ 3x - 4y - 15 \neq 1 \\ \cos [\pi (x+y)] = 1 \\ x + 2y > 0 \\ x + 2y \neq 1 \end{cases}$.
Решая входящие сюда два уравнения, получим
$\begin{cases} x + y = 2n \\ x - 3y = 15 \end{cases}$, т.е. $x = \frac {6n+15}{4}, y = \frac {2n - 15}{4}$.
Из первого уравнения большой системы следует, что второе и третье неравенства выполняются одновременно. Поэтому достаточно потребовать
$\frac {2n-15}{4} > 0$, т.е. $n > - \frac{9}{2}$ или $n \geq -4$.
Аналогично убеждаемся, что условие $3x-4y-15 \neq 1$ выполняется при $n \neq - \frac{41}{10}$, т.е. всегда, ибо $n$ - целое.
Неравенство $x+2y>0$ справедливо при всех $n>1,5$, т.е. $n \geq 2$, а условие $x+2y \neq 1$ выполняется при $n \neq 1,9$, т.е. всегда.
Ответ. $\begin{cases} x = \frac {6n+15}{4} \\ y = \frac {2n - 15}{4} \end{cases}$, где $n = 2,3,4, \cdots$.
