ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Для каждого действительного числа $а$ решить уравнение $lg^2 \sin x - 2 a lg \sin x - a^2 + 2 = 0$.


Решение:


Решаем квадратное уравнение относительно $lg \sin x$:

$lg \sin x = a \pm \sqrt {2a^2 - 2}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2a^2-2 \geq 0$, т. е. $a \leq -1, a \geq 1$.
Поскольку

$\sin x = 10^{a \pm \sqrt {2a^2 - 2}}$,

то правая часть не должна превосходить единицу, а потому $a \pm \sqrt {2a^2 - 2} \leq 0$.

Когда $a \geq 1$, нужно рассмотреть лишь неравенство

$a - \sqrt {2a^2 - 2} \leq 0$,

откуда (с учетом ограничения $a \geq 1$) получаем $a \geq \sqrt 2$. Если же $a \leq -1$, то $a - \sqrt {2a^2 - 2}$ всегда отрицательное число, а чтобы и число $a + \sqrt {2a^2-2}$ было неположительно, должно быть также $a \geq - \sqrt {2}$.
Ответ. При $a \leq - \sqrt {2} x = n \pi + (-1)^n \arcsin {10^{a \pm \sqrt {2a^2 - 2}}}$,
при $- \sqrt 2 \leq a \leq -1$ и при $a \geq \sqrt{2}$
$x = n \pi + (-1)^n \arcsin 10^{a \pm \sqrt {2a^2 - 2}}$,
при $-1 < a < \sqrt{2}$ решений нет.