Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2529
2019-03-30 
Решить уравнение $lg^2 \cos x + 2 lg \cos x + m^2 + 2m - 3 = 0$.
Решение:
Решаем квадратное уравнение
$lg \cos x = -1 \pm \sqrt {-m^2 - 2m +4}$.
Стоящее под корнем выражение неотрицательно, если $-1- \sqrt{5} \leq m \leq - 1 + \sqrt{5}$.
Делаем следующий шаг:
$\cos x = 10^{-1 \pm \sqrt {-m^2 - 2m + 4}}$.
Когда перед корнем взят минимум, то стоящее справа положительное выражение не превзойдет единицы, а потому может быть косинусом. Когда перед корнем поставлен плюс, нужно, чтобы
$-1 + \sqrt {-m^2 - 2m + 4} \leq 0$, т.е. $\sqrt {-m^2 - 2m + 4} \leq 1$.
После возведения в квадрат это даст нам систему
$\begin{cases} -m^2 - 2m + 3\leq 0 \\ -m^2 - 2m + 4 \geq 0 \end{cases}$,
у которой два интервала решений:
$-1 - \sqrt{5} \leq m \leq - 3, 1 \leq m \leq -1 + \sqrt {5}$.
Ответ. При $-1 - \sqrt{5} \leq m \leq -1 + \sqrt{5}, x = 2n \pi \pm \arccos A$, при $-1 - \sqrt{5} \leq m \leq -3$ и $1 \leq m \leq -1 + \sqrt{5}, x = 2n \pi \pm \arccos B$, где $A = 10^{-1- \sqrt {-m^2-2m+4}}, B = 10^{-1+ \sqrt {-m^2-2m+4}}$.
Решить уравнение $lg^2 \cos x + 2 lg \cos x + m^2 + 2m - 3 = 0$.
Решение:
Решаем квадратное уравнение
$lg \cos x = -1 \pm \sqrt {-m^2 - 2m +4}$.
Стоящее под корнем выражение неотрицательно, если $-1- \sqrt{5} \leq m \leq - 1 + \sqrt{5}$.
Делаем следующий шаг:
$\cos x = 10^{-1 \pm \sqrt {-m^2 - 2m + 4}}$.
Когда перед корнем взят минимум, то стоящее справа положительное выражение не превзойдет единицы, а потому может быть косинусом. Когда перед корнем поставлен плюс, нужно, чтобы
$-1 + \sqrt {-m^2 - 2m + 4} \leq 0$, т.е. $\sqrt {-m^2 - 2m + 4} \leq 1$.
После возведения в квадрат это даст нам систему
$\begin{cases} -m^2 - 2m + 3\leq 0 \\ -m^2 - 2m + 4 \geq 0 \end{cases}$,
у которой два интервала решений:
$-1 - \sqrt{5} \leq m \leq - 3, 1 \leq m \leq -1 + \sqrt {5}$.
Ответ. При $-1 - \sqrt{5} \leq m \leq -1 + \sqrt{5}, x = 2n \pi \pm \arccos A$, при $-1 - \sqrt{5} \leq m \leq -3$ и $1 \leq m \leq -1 + \sqrt{5}, x = 2n \pi \pm \arccos B$, где $A = 10^{-1- \sqrt {-m^2-2m+4}}, B = 10^{-1+ \sqrt {-m^2-2m+4}}$.
