Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2527
2019-03-30 
Решить уравнение: $log_{8 \cos^2 x} \sin x = \frac{1}{2}$.
Решение:
Данное уравнение равносильно системе
$\begin{cases} \sin x = \sqrt {8 \cos^2 x} \\ \cos^2 x \neq \frac{1}{8} \end{cases}$, или $\begin{cases} \sin x = \sqrt 8 |\cos x| \\ \cos^2 x \neq \frac{1}{8} \end{cases}$.
Условие, что $\sin x > 0$, входит в уравнение, так как справа стоит всегда неотрицательное число, а если $\cos x = 0$, то $\sin x \neq 0$.
Рассмотрим следствие исходного уравнения
$\sin x = \pm \sqrt{8} \cos x$,
а в конце проверим выполнение условий: $\sin x > 0$ и $\cos^2 x \neq \frac{1}{8}$. Получим
$tg x = \pm \sqrt{8}, x = n \pi \pm arctg {\sqrt{8}}$.
Если $tg x = \pm \sqrt{8}$, то $tg^2 x + 1 = 9$ и $\cos^2 x = \frac{1}{9} \neq \frac{1}{8}$. Чтобы проверить выполнение условия $\sin x > 0$, рассмотрим два случая.
Если $n = 2k$, то $x + 2 k \pi \pm arctg {\sqrt{8}}$. Это - углы, лежащие в первой и четвертой четвертях; условие $\sin x > 0$ выполняется лишь для тех из них, которые лежат в первой четверти: $x_1 = 2 k \pi \pm arctg {\sqrt{8}}$.
Если $n = 2k + 1$, то $x = 2 k \pi + \pi \pm arctg {\sqrt{8}}$. Здесь нужно выбрать знак минус, так как только тогда мы получаем угол, лежащий во второй четверти.
Ответ. $2 k \pi + arctg {\sqrt{8}}; (2k+1) \pi - arctg {\sqrt{8}}$.
Решить уравнение: $log_{8 \cos^2 x} \sin x = \frac{1}{2}$.
Решение:
Данное уравнение равносильно системе
$\begin{cases} \sin x = \sqrt {8 \cos^2 x} \\ \cos^2 x \neq \frac{1}{8} \end{cases}$, или $\begin{cases} \sin x = \sqrt 8 |\cos x| \\ \cos^2 x \neq \frac{1}{8} \end{cases}$.
Условие, что $\sin x > 0$, входит в уравнение, так как справа стоит всегда неотрицательное число, а если $\cos x = 0$, то $\sin x \neq 0$.
Рассмотрим следствие исходного уравнения
$\sin x = \pm \sqrt{8} \cos x$,
а в конце проверим выполнение условий: $\sin x > 0$ и $\cos^2 x \neq \frac{1}{8}$. Получим
$tg x = \pm \sqrt{8}, x = n \pi \pm arctg {\sqrt{8}}$.
Если $tg x = \pm \sqrt{8}$, то $tg^2 x + 1 = 9$ и $\cos^2 x = \frac{1}{9} \neq \frac{1}{8}$. Чтобы проверить выполнение условия $\sin x > 0$, рассмотрим два случая.
Если $n = 2k$, то $x + 2 k \pi \pm arctg {\sqrt{8}}$. Это - углы, лежащие в первой и четвертой четвертях; условие $\sin x > 0$ выполняется лишь для тех из них, которые лежат в первой четверти: $x_1 = 2 k \pi \pm arctg {\sqrt{8}}$.
Если $n = 2k + 1$, то $x = 2 k \pi + \pi \pm arctg {\sqrt{8}}$. Здесь нужно выбрать знак минус, так как только тогда мы получаем угол, лежащий во второй четверти.
Ответ. $2 k \pi + arctg {\sqrt{8}}; (2k+1) \pi - arctg {\sqrt{8}}$.
