ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Решить уравнение: $log_{\sin x} ( \sin x - \frac{1}{4} \cos x) = 3$.


Решение:


Данное уравнение эквивалентно системе

$\begin{cases} \sin x - \frac{1}{4} \cos x = \sin^3 x \\ \sin x - \frac{1}{4} \cos x > 0 \\ \sin x > 0 \\ \sin x \neq 1 \end{cases}$.

Уравнение можно преобразовать, если сгруппировать $x$ и $\sin^3x$:

$\sin x (1-\sin^2x) - \frac{1}{4} \cos x = 0$,

или

$\sin x \cos^2 x - \frac{1}{4} \cos x = 0$.

Так как $\sin x > 0$, то $\cos^2 < 1$, и любое решение уравнения

$\sin x \cos^2 x - \frac{1}{4} \cos x = 0$

удовлетворяют неравенству

$\sin x - \frac{1}{4} \cos x > 0$.

Запишем уравнение в виде

$\cos x \left (\sin 2x - \frac{1}{2} \right ) = 0$.

Так как $\sin x \neq 1$ и $\sin x > 0$, то $\cos x \neq 0$. Остается

$\sin 2x = \frac{1}{2}$,

откуда

$x_1 = \pi n + \frac{ \pi}{12}, x_2 = \frac{ \pi}{2} (2n+1) - \frac{ \pi}{12}$. Из всех ограничений осталось удовлетворить только одному: $\sin x > 0$. Чтобы добиться этого, нужно для $x_1$ и $x_2$ взять $n = 2k$.
Ответ. $2 \pi k + \frac{ \pi}{12}; 2 \pi k + \frac{5 \pi}{12}$.