Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2522
2019-03-30 
Решить уравнение: $(tg x)^{\sin x} = (ctg x)^{\cos x}$.
Решение:
Так как в условие одновременно входят $tg x$ и $ctg x$, то мы можем воспользоваться неабсолютным тождеством
$ctg x = \frac{ 1}{ tg x}$,
не опасаясь нарушения равносильности. Получим уравнение
$(tg x)^{\sin x} = (tg x)^{- \cos x}$.
Если $tg x < 0$, то $\sin x$ и $\cos x$ - дробные числа, и обе части равенства теряют смысл. При $tg x = 0$ и $\sin x$ обращается в нуль, т. е. левая часть теряет смысл.
Если $tg x > 0, \:но \neq 1$, то $\sin x = - \cos x$, откуда $tg x < 0$, что противоречит сделанному предположению.
Остается $tg x = 1, x = \frac{ \pi}{4} (4x + 1)$.
Ответ. $\frac{ \pi}{4} (4k + 1)$.
Решить уравнение: $(tg x)^{\sin x} = (ctg x)^{\cos x}$.
Решение:
Так как в условие одновременно входят $tg x$ и $ctg x$, то мы можем воспользоваться неабсолютным тождеством
$ctg x = \frac{ 1}{ tg x}$,
не опасаясь нарушения равносильности. Получим уравнение
$(tg x)^{\sin x} = (tg x)^{- \cos x}$.
Если $tg x < 0$, то $\sin x$ и $\cos x$ - дробные числа, и обе части равенства теряют смысл. При $tg x = 0$ и $\sin x$ обращается в нуль, т. е. левая часть теряет смысл.
Если $tg x > 0, \:но \neq 1$, то $\sin x = - \cos x$, откуда $tg x < 0$, что противоречит сделанному предположению.
Остается $tg x = 1, x = \frac{ \pi}{4} (4x + 1)$.
Ответ. $\frac{ \pi}{4} (4k + 1)$.
