Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2520
2019-03-30 
Доказать, что уравнение $2 \sin^2 \frac{x}{2} \sin^2 \frac{x}{6} = \frac{ 1}{x^2} + x^2$ не имеет корней.
Решение:
Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим немедленно следует, что
$\frac{1}{x^2} + x^2 \geq 2$.
Однако левая часть уравнения не может стать больше двух. Поэтому остается лишь одна возможность:
$\begin{cases} 2 \sin^2 \frac{x}{2} \sin^2 \frac{x}{6} = 2 \\ \frac{1}{x^2} + x^2 = 2 \end{cases}$.
Последнее равенство достигается лишь при $x^2 = 1$, т.е. $x = \pm 1$. Подставляя эти значения в левую часть первого уравнения, получим
$2 \sin^2 \frac{1}{2} \sin^2 \frac{1}{6} < 2$.
Таким образом, исходное уравнение не имеет решений.
Доказать, что уравнение $2 \sin^2 \frac{x}{2} \sin^2 \frac{x}{6} = \frac{ 1}{x^2} + x^2$ не имеет корней.
Решение:
Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим немедленно следует, что
$\frac{1}{x^2} + x^2 \geq 2$.
Однако левая часть уравнения не может стать больше двух. Поэтому остается лишь одна возможность:
$\begin{cases} 2 \sin^2 \frac{x}{2} \sin^2 \frac{x}{6} = 2 \\ \frac{1}{x^2} + x^2 = 2 \end{cases}$.
Последнее равенство достигается лишь при $x^2 = 1$, т.е. $x = \pm 1$. Подставляя эти значения в левую часть первого уравнения, получим
$2 \sin^2 \frac{1}{2} \sin^2 \frac{1}{6} < 2$.
Таким образом, исходное уравнение не имеет решений.
