Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 252
2014-06-07 
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, большие 2, для которых на плоскости можно выбрать $n$ точек так, чтобы любые две из них являлись вершинами равностороннего треугольника, третьей вершиной которого служит также одна из выбранных точек.
Решение:
Докажем, что условию задачи удовлетворяет лишь значения $n = 3$ (при котором точки достаточно расположить в вершинах правильного треугольника). В самом деле, пусть указанным и задаче образом можно расположить $n \geq 4$ точек. Выберем в них две точки А и В, расстояние между которыми максимально, и третью точку С, для которой треугольник $ABC$ правильный. Тогда все остальные точки лежат в фигуре М, являющейся пересечением трех кругов радиуса АВ с центрами в точках А, В и С (рис.). Если точка О - центр треугольника АВС, то отрезки АО, ВО и СО делят множество М на три равные части, ни в одной из которых не может располагаться ни одна из $n$ точек, кроме уже названных. Действительно, пусть, например, в части $M_{BC}$, составленной из треугольника ВОС и сегмента круга с центром А и дугой ВС, находится еще одна точка D. Тогда существует точка $D^{\prime}$, для которой треугольник $ADD^{\prime}$ правильный. Следовательно, при повороте (в определенном направлении) вокруг точки А на угол $60^{\circ}$ точка D переходит в точку $D^{\prime}$, лежащую, таким образом, одновременно и в образе $M^{\prime}_{BG}$ части $M_{BC}$ при этом повороте, и в множестве M. Но так как $\angle BAC = 60^{\circ}$, то либо $C^{\prime} = B$, либо $B^{\prime} = C$. Предположим для определенности, что $B^{\prime} = C$. Тогда множества $M^{\prime}_{BC}$ и М лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $B^{\prime}O^{\prime}$, ибо
$\angle BB^{\prime}O^{\prime} = \angle BCA + \angle AB^{\prime}O^{\prime} = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$,
т. е. прямая $B^{\prime}O^{\prime}$ касается дуги АС. Поэтому $M^{\prime}_{BC}$ и М имеют только одну общую точку $B^{\prime}$, откуда $D^{\prime} = B^{\prime}$ и D = B, что противоречит выбору точки D. Утверждение доказано.
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, большие 2, для которых на плоскости можно выбрать $n$ точек так, чтобы любые две из них являлись вершинами равностороннего треугольника, третьей вершиной которого служит также одна из выбранных точек.
Решение:
Докажем, что условию задачи удовлетворяет лишь значения $n = 3$ (при котором точки достаточно расположить в вершинах правильного треугольника). В самом деле, пусть указанным и задаче образом можно расположить $n \geq 4$ точек. Выберем в них две точки А и В, расстояние между которыми максимально, и третью точку С, для которой треугольник $ABC$ правильный. Тогда все остальные точки лежат в фигуре М, являющейся пересечением трех кругов радиуса АВ с центрами в точках А, В и С (рис.). Если точка О - центр треугольника АВС, то отрезки АО, ВО и СО делят множество М на три равные части, ни в одной из которых не может располагаться ни одна из $n$ точек, кроме уже названных. Действительно, пусть, например, в части $M_{BC}$, составленной из треугольника ВОС и сегмента круга с центром А и дугой ВС, находится еще одна точка D. Тогда существует точка $D^{\prime}$, для которой треугольник $ADD^{\prime}$ правильный. Следовательно, при повороте (в определенном направлении) вокруг точки А на угол $60^{\circ}$ точка D переходит в точку $D^{\prime}$, лежащую, таким образом, одновременно и в образе $M^{\prime}_{BG}$ части $M_{BC}$ при этом повороте, и в множестве M. Но так как $\angle BAC = 60^{\circ}$, то либо $C^{\prime} = B$, либо $B^{\prime} = C$. Предположим для определенности, что $B^{\prime} = C$. Тогда множества $M^{\prime}_{BC}$ и М лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $B^{\prime}O^{\prime}$, ибо
$\angle BB^{\prime}O^{\prime} = \angle BCA + \angle AB^{\prime}O^{\prime} = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$,
т. е. прямая $B^{\prime}O^{\prime}$ касается дуги АС. Поэтому $M^{\prime}_{BC}$ и М имеют только одну общую точку $B^{\prime}$, откуда $D^{\prime} = B^{\prime}$ и D = B, что противоречит выбору точки D. Утверждение доказано.
