Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2519
2019-03-30 
Решить неравенство: $arctg {\sqrt{x}} > \arccos (1 - x)$.
Решение:
Если $1 - x \leq 0$, то неравенство не удовлетворяется, так как
$\arccos (1-x) \geq \frac{ \pi}{2}$, если $1-x \leq 0$,
в то время как $arctg {\sqrt x}$ всегда меньше $\frac{ \pi}{2}$. При $1 - x > 0$ обе части неравенства оказывается в интервале от 0 до $\frac{ \pi}{2}$, где все тригонометрические функции монотонны. Так как косинус в интервале от 0 до $\frac{ \pi}{2}$ убывает, то данное неравенство равносильно такому:
$\cos (arctg \sqrt{x}) < \cos (arccos (1-x))$
(большему углу соответствует меньший косинус). Чтобы $\arccos (1-x)$ существовал, необходимо $1 - x \leq 1$. Вспоминая, что $1 - x > 0$, получим, что $0 \leq x < 1$.
Вычислим $\cos (arctg \sqrt{x})$:
$\cos (arctg \sqrt{x}) = \frac {1}{\sqrt {1 + tg^2 (arctg \sqrt{x})}} = \frac {1}{\sqrt {1+x}}$.
Получаем систему неравенств
$\begin{cases} \frac {1}{\sqrt {1+x}} < 1 - x \\ 0 \leq x < 1 \end{cases}$.
Так как $0 \leq x < 1$, то система равносильна такой:
$\begin{cases} 1 < (1-x)^2(1+x) \\ 0 \leq x < 1 \end{cases}$.
Раскрыв скобки, запишем первое неравенство так: $x^3 - x^2 - x > 0$, или $x(x^2 - x - 1) > 0$. При $x = 0$ это неравенство не удовлетворяется, а при $x > 0$ - равносильно неравенству $x^2 - x - 2 > 0$. Трехчлен, стоящий в левой части, можно записать так: $x(x-1) - 1$. Поскольку $x > 0$, а $x-1 < 0$, то этот трехчлен отрицателен.
Ответ. Нет решений.
Решить неравенство: $arctg {\sqrt{x}} > \arccos (1 - x)$.
Решение:
Если $1 - x \leq 0$, то неравенство не удовлетворяется, так как
$\arccos (1-x) \geq \frac{ \pi}{2}$, если $1-x \leq 0$,
в то время как $arctg {\sqrt x}$ всегда меньше $\frac{ \pi}{2}$. При $1 - x > 0$ обе части неравенства оказывается в интервале от 0 до $\frac{ \pi}{2}$, где все тригонометрические функции монотонны. Так как косинус в интервале от 0 до $\frac{ \pi}{2}$ убывает, то данное неравенство равносильно такому:
$\cos (arctg \sqrt{x}) < \cos (arccos (1-x))$
(большему углу соответствует меньший косинус). Чтобы $\arccos (1-x)$ существовал, необходимо $1 - x \leq 1$. Вспоминая, что $1 - x > 0$, получим, что $0 \leq x < 1$.
Вычислим $\cos (arctg \sqrt{x})$:
$\cos (arctg \sqrt{x}) = \frac {1}{\sqrt {1 + tg^2 (arctg \sqrt{x})}} = \frac {1}{\sqrt {1+x}}$.
Получаем систему неравенств
$\begin{cases} \frac {1}{\sqrt {1+x}} < 1 - x \\ 0 \leq x < 1 \end{cases}$.
Так как $0 \leq x < 1$, то система равносильна такой:
$\begin{cases} 1 < (1-x)^2(1+x) \\ 0 \leq x < 1 \end{cases}$.
Раскрыв скобки, запишем первое неравенство так: $x^3 - x^2 - x > 0$, или $x(x^2 - x - 1) > 0$. При $x = 0$ это неравенство не удовлетворяется, а при $x > 0$ - равносильно неравенству $x^2 - x - 2 > 0$. Трехчлен, стоящий в левой части, можно записать так: $x(x-1) - 1$. Поскольку $x > 0$, а $x-1 < 0$, то этот трехчлен отрицателен.
Ответ. Нет решений.
