Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2517
2019-03-30 
Решить неравенство: $\sin |lg x| + \cos |lg x| > \frac{ 1}{ \sqrt {2}}$.
Решение:
Неравенство можно переписать так:
$\cos \left ( |lg x| - \frac{ \pi}{4} \right ) > \frac{1}{2}$,
откуда
$- \frac{ \pi}{3} + 2 n \pi < |lg x| - \frac{ \pi}{4} < \frac{ \pi}{3} + 2n \pi$,
т.е.
$- \frac{ \pi}{12} + 2n \pi < |lg x| < \frac{ 7 \pi}{12} + 2n \pi$.
При $n < 0$ не удовлетворяется правое неравенство.
При $n = 0: |lg x| < \frac{ 7 \pi}{12}$, т.е. $- \frac{ 7 \pi}{12} < lg x < \frac{7 \pi}{12}$, а потому $10^{- \frac {7 \pi}{12}} < x < 10^{\frac {7\pi}{12}}$.
При $n = 1, 2, 3 \cdots: - \frac{\pi}{12} + 2 n \pi < lg x < \frac{ 7 \pi}{12} + 2 n \pi$, и $ - \frac {7\pi}{12} - 2n \pi < lg x < \frac {\pi}{12} - 2n \pi$.
Ответ. $10^{- \frac {7\pi}{12} - 2n \pi} < x < 10^{\frac {7\pi}{12}}, 10^{- \frac {\pi}{12} + 2n \pi} < x < 10^{\frac {7\pi}{12} + 2n \pi}, 10^{- \frac {7\pi}{12} - 2n \pi} < x < 10^{\frac {\pi}{12} - 2n \pi}, n = 1, 2, 3, \cdots $.
Решить неравенство: $\sin |lg x| + \cos |lg x| > \frac{ 1}{ \sqrt {2}}$.
Решение:
Неравенство можно переписать так:
$\cos \left ( |lg x| - \frac{ \pi}{4} \right ) > \frac{1}{2}$,
откуда
$- \frac{ \pi}{3} + 2 n \pi < |lg x| - \frac{ \pi}{4} < \frac{ \pi}{3} + 2n \pi$,
т.е.
$- \frac{ \pi}{12} + 2n \pi < |lg x| < \frac{ 7 \pi}{12} + 2n \pi$.
При $n < 0$ не удовлетворяется правое неравенство.
При $n = 0: |lg x| < \frac{ 7 \pi}{12}$, т.е. $- \frac{ 7 \pi}{12} < lg x < \frac{7 \pi}{12}$, а потому $10^{- \frac {7 \pi}{12}} < x < 10^{\frac {7\pi}{12}}$.
При $n = 1, 2, 3 \cdots: - \frac{\pi}{12} + 2 n \pi < lg x < \frac{ 7 \pi}{12} + 2 n \pi$, и $ - \frac {7\pi}{12} - 2n \pi < lg x < \frac {\pi}{12} - 2n \pi$.
Ответ. $10^{- \frac {7\pi}{12} - 2n \pi} < x < 10^{\frac {7\pi}{12}}, 10^{- \frac {\pi}{12} + 2n \pi} < x < 10^{\frac {7\pi}{12} + 2n \pi}, 10^{- \frac {7\pi}{12} - 2n \pi} < x < 10^{\frac {\pi}{12} - 2n \pi}, n = 1, 2, 3, \cdots $.
