ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Решить неравенство: $log_{|\cos x + \sqrt {3} \sin x|} \frac{1}{2} > 0$, если $0 \leq x \leq 2 \pi$.


Решение:


Вместо данного неравенства можно написать

$0 < |\cos x + \sqrt 3 \sin x| < 1$,

что равносильно системе

$\begin{cases} -1 < \cos x + \sqrt {3} \sin x < 1 \\ \cos x + \sqrt 3 \sin x \neq 0 \end{cases}$.

Так как $\cos x + \sqrt 3 \sin x = 2 \cos \left (x - \frac{ \pi}{3} \right )$, то получим

$\begin{cases} - \frac{1}{2} < \cos \left ( x - \frac{\pi}{3} \right ) < \frac{1}{2} \\ \cos \left ( x - \frac{ \pi}{2} \right ) \neq 0 \end{cases}$.

В условии сказано, что $0 \leq x \leq 2 \pi$, поэтому $x - \frac{ \pi}{3}$ нужно искать в интервале $- \frac{ \pi}{3} \leq x - \frac{\pi}{3} \leq 2 \pi - \frac{ \pi}{3}$. На рис. изображено расположение на тригонометрическом круге значений $y = x - \frac{ \pi}{3}$, удовлетворяющих последней системе, т.е.

$\frac{ \pi}{3} < x - \frac{ \pi}{3} < \frac{ \pi}{2}, \frac{ \pi}{2} < x - \frac{ \pi}{3} < \frac{ 2 \pi}{3}$,
$\frac{ 4 \pi}{3} < x - \frac{ \pi}{3} < \frac{ 3 \pi}{2}, \frac{ 3 \pi}{2} < x - \frac{ \pi}{3} < \frac{ 5 \pi}{3}$.
Ответ. $\frac{ 2\pi}{3} < x < \frac{5 \pi}{6}, \frac{5 \pi}{6} < x < \pi, \frac{ 5 \pi}{3} < x < \frac{ 11\pi}{6}, \frac{ 11 \pi}{6} < x < 2\pi$.