ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Решить неравенство: $4 log_{16} \cos 2x + 2 log_4 \sin x + log_2 \cos x + 3 < 0$.


Решение:


Данное неравенство можно переписать так:

$log_2 \cos 2x + log_2 \sin x + log_2 \cos x + log_2 8 < 0$,

т.е.

$\begin{cases} 8 \cos 2x \sin x \cos x < 1 \\ \cos 2x > 0 \\ \sin x > 0 \\ \cos x > 0 \end{cases}$.

Первое неравенство можно переписать в виде

$\sin 4x < \frac{1}{2}$.

Два последних неравенства требуют, чтобы подвижный радиус угла $x$ лежал в первой четверти, а неравенство $\cos 2x > 0$ сужает эту область до первой половины первой четверти (на рис. - заштрихованный сектор).

Остается выбрать решения неравенства $\sin 4x < \frac{1}{2}$, лежащие в этих промежутках. Все решения неравенства $\sin 4x < \frac{1}{2}$ можно записать в виде

$- \frac{ 7 \pi}{6} + 2 n \pi < 4x < \frac{\pi}{6} + 2 n \pi$,

т.е.

$- \frac{ 7 \pi}{2}4 + \frac{n \pi}{2} < x < \frac{ \pi}{24} + \frac{n \pi}{2}$

(рис.). В интересующий нас интервал $0 < x < \frac{ \pi}{4}$ из этой серии частично попадут лишь два интервала: $- \frac{ 7 \pi}{24} < x < \frac{ 13/pi}{24}$ (рис.). Теперь нетрудно написать окончательный ответ.
Ответ. $2 n \pi < x < \frac{ \pi}{24} + 2 n \pi; \frac{ 5 \pi}{24} + 2n \pi < x < \frac{ \pi}{4} + 2 n \pi$.