ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Решить неравенство: $(log_{tg x} 3)^2 \leq log_{tg x} (3 tg^2 x)$.


Решение:


Данное неравенство равносильно такому:

$(log_{tg x} 3)^2 \leq log_{tg x} 3 + 2$,

т.е.

$-1 \leq log_{tg x} 3 \leq 2$.

Последнее неравенство равносильно совокупности систем

$\begin{cases} tg x > 1 \\ \frac{1}{tg x} \leq 3 \leq tg^2 x \end{cases}$;
$\begin{cases} 0 < tg x < 1 \\ \frac{1}{tg x} \geq 3 \geq tg^2 x \end{cases}$.

Каждая из этих систем после несложных преобразований принимает вид

$\begin{cases} tg x > 1 \\ tg x \geq 1/3 \\ tg x \geq \sqrt {3} \end{cases}$;
$\begin{cases} 0 < tg x < 1 \\ tg x \leq 1/3 \\ tg x \leq \sqrt {3} \end{cases}$.

Первая сиcтема равносильна неравенству $tg x \geq \sqrt {3}$, а вторая - неравенству $0 < tg x \leq 1/3$.
Ответ. $n \pi < x \leq arctg \frac{1}{3} + n \pi; \frac{ \pi}{3} + n \pi \leq x < \frac{ \pi}{2} + n \pi$.