Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2512
2019-03-30 
Решить неравенство: $(log_{\sin x} 2)^2 < log_{\sin x} (4 \sin^3 x)$.
Решение:
Данное неравенство равносильно такому:
$(log_{\sin x} 2)^2 < 2 log_{\sin x} 2 = 3$.
Обозначив $log_{\sin x} 2 = y$, получим
$y^2 - 2y - 3 < 0$,
откуда
$-1 < y < 3$,
или
$-1 < log_{\sin x} 2 < 3$.
Последнее неравенство эквивалентно системе
$\begin{cases} \frac{1}{ \sin x} > 2 > \sin^3 x \\ \sin x > 0 \\ \sin x \neq 1 \end{cases}$.
Первое из неравенств системы можно переписать так:
$0 < \sin x < \frac{1}{2}$.
Ответ. $2n \pi < x < \frac{ \pi}{6} + 2 n \pi; \frac{ 5 \pi}{6} + 2n \pi < x < \pi + 2n \pi$.
Решить неравенство: $(log_{\sin x} 2)^2 < log_{\sin x} (4 \sin^3 x)$.
Решение:
Данное неравенство равносильно такому:
$(log_{\sin x} 2)^2 < 2 log_{\sin x} 2 = 3$.
Обозначив $log_{\sin x} 2 = y$, получим
$y^2 - 2y - 3 < 0$,
откуда
$-1 < y < 3$,
или
$-1 < log_{\sin x} 2 < 3$.
Последнее неравенство эквивалентно системе
$\begin{cases} \frac{1}{ \sin x} > 2 > \sin^3 x \\ \sin x > 0 \\ \sin x \neq 1 \end{cases}$.
Первое из неравенств системы можно переписать так:
$0 < \sin x < \frac{1}{2}$.
Ответ. $2n \pi < x < \frac{ \pi}{6} + 2 n \pi; \frac{ 5 \pi}{6} + 2n \pi < x < \pi + 2n \pi$.
