Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2511
2019-03-30 
Доказать, что при любом $\alpha$ имеет место неравенство $4 \sin 3 \alpha + 5 \geq 4 \cos 2 \alpha + 5 \sin \alpha$.
Решение:
Выразив $\sin 3\alpha$ и $\cos 2 \alpha$ через $\sin \alpha$ и обозначив $\sin \alpha = y$, получим
$4 (3y - 4y^3) + 5 \geq 4 - 8y^2 + 5y$,
или
$16y^3 - 8y^2 - 7y - 1 \leq 0$.
Нетрудно заметить, что $y = 1$ - корень многочлена, стоящего в левой части неравенства. Теперь можно разложить этот многочлен на множители:
$16y^3 - 8y^2 - 7y - 1 = (y-1)(4y + 1)^2$.
Так как $y = \sin \alpha$, то $y-1 \leq 0$, а следовательно, и многочлен $16y^3 - 8y^2 - 7y - 1$ неположителен, что доказывает неравенство.
Доказать, что при любом $\alpha$ имеет место неравенство $4 \sin 3 \alpha + 5 \geq 4 \cos 2 \alpha + 5 \sin \alpha$.
Решение:
Выразив $\sin 3\alpha$ и $\cos 2 \alpha$ через $\sin \alpha$ и обозначив $\sin \alpha = y$, получим
$4 (3y - 4y^3) + 5 \geq 4 - 8y^2 + 5y$,
или
$16y^3 - 8y^2 - 7y - 1 \leq 0$.
Нетрудно заметить, что $y = 1$ - корень многочлена, стоящего в левой части неравенства. Теперь можно разложить этот многочлен на множители:
$16y^3 - 8y^2 - 7y - 1 = (y-1)(4y + 1)^2$.
Так как $y = \sin \alpha$, то $y-1 \leq 0$, а следовательно, и многочлен $16y^3 - 8y^2 - 7y - 1$ неположителен, что доказывает неравенство.
