Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 251
2014-06-07 
Множество на плоскости имеет две оси симметрии, пересекающиеся под углом $\alpha$, где число $\alpha/\pi$ иррационально. Доказать, что если это множество содержит более одной точки, то оно содержит бесконечно много точек.
Решение:
Пусть оси симметрии $l_{0}$ и $l_{1}$ множества М пересекаются в точке О, причем ось $l_{0}$ при вращении по часовой стрелке вокруг точки О на угол $\alpha$ переходит в ось $l_{1}$. Тогда, если обозначить через $S_{l}(A)$ точку, симметричную точке А относительно прямой l, то при вращении по часовой стрелке вокруг точки O на угол $2 \alpha$ любая точка А переходит в точку $R(A) = S_{l_{1}}(S_{l_{0}}(A))$. Действительно, расстояние от точки О до любой из точек $A, S_{l_{0}}(A), S_{l_{1}}(S_{l_{0}}(A))$ одинаковы (см. рис.), и если ориентированный по часовой стрелке угол между прямыми OA и $l_{0}$ равен $\beta (A \neq O)$, то угол между прямым OA и $OS_{l_{1}}(S_{l_{0}}(A))$ равен $2 \beta – 2(beta - \alpha) = 2 \alpha$. Поскольку множество M содержит более одной точки, то оно содержит точку $A_{0} \neq O$. Итак, имеем
$R(M) = S_{l_{1}}(S_{l_{0}}(M)) = S_{l_{1}}(M) = M$,
поэтому каждая из точек $A_{0}, A_{1} = R (A_{0}), A_{2} = R(A_{1}), A_{3} = R(A_{2})$ и т. д. содержится в множестве М. При этом все указанные точки В различны, так как если бы при некоторых значениях $i > j$ точки $A_{i}$ и $A_{j}$ совпали, то выполнялось бы равенство
$2 \alpha (i - j) = 2 \pi k (k \in \mathbf{N})$,
т. е. число $\alpha / \pi = k /(i - j)$ было бы рациональным. Таким образом множество М бесконечно.
Множество на плоскости имеет две оси симметрии, пересекающиеся под углом $\alpha$, где число $\alpha/\pi$ иррационально. Доказать, что если это множество содержит более одной точки, то оно содержит бесконечно много точек.
Решение:
Пусть оси симметрии $l_{0}$ и $l_{1}$ множества М пересекаются в точке О, причем ось $l_{0}$ при вращении по часовой стрелке вокруг точки О на угол $\alpha$ переходит в ось $l_{1}$. Тогда, если обозначить через $S_{l}(A)$ точку, симметричную точке А относительно прямой l, то при вращении по часовой стрелке вокруг точки O на угол $2 \alpha$ любая точка А переходит в точку $R(A) = S_{l_{1}}(S_{l_{0}}(A))$. Действительно, расстояние от точки О до любой из точек $A, S_{l_{0}}(A), S_{l_{1}}(S_{l_{0}}(A))$ одинаковы (см. рис.), и если ориентированный по часовой стрелке угол между прямыми OA и $l_{0}$ равен $\beta (A \neq O)$, то угол между прямым OA и $OS_{l_{1}}(S_{l_{0}}(A))$ равен $2 \beta – 2(beta - \alpha) = 2 \alpha$. Поскольку множество M содержит более одной точки, то оно содержит точку $A_{0} \neq O$. Итак, имеем
$R(M) = S_{l_{1}}(S_{l_{0}}(M)) = S_{l_{1}}(M) = M$,
поэтому каждая из точек $A_{0}, A_{1} = R (A_{0}), A_{2} = R(A_{1}), A_{3} = R(A_{2})$ и т. д. содержится в множестве М. При этом все указанные точки В различны, так как если бы при некоторых значениях $i > j$ точки $A_{i}$ и $A_{j}$ совпали, то выполнялось бы равенство
$2 \alpha (i - j) = 2 \pi k (k \in \mathbf{N})$,
т. е. число $\alpha / \pi = k /(i - j)$ было бы рациональным. Таким образом множество М бесконечно.
