ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Решить неравенство $\sqrt {1 + 2 \cos x} + \sqrt {\cos x} > \sqrt { \frac{17}{7} - \cos x}$, если $0 \leq x \leq 2\pi$.


Решение:


Пусть $y = \cos x$, где $|y| \leq 1$. Выражение $\frac{ 17}{7} - \cos x$ всегда положительно. Поэтому обе части данного неравенства можно возвести в квадрат; получим равносильное неравенство

$\sqrt {1+2y} \sqrt {y} > \frac{5}{7} - 2 y$.

Когда правая часть отрицательна, придем к системе

$\begin{cases} \frac{5}{7} - 2y < 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$,

решением которой будут значения $y > \frac{5}{14}$.
Когда правая часть неотрицательна, то получим другую систему:

$\begin{cases} \frac{5}{7} - 2y \geq 0 \\ (1+2y)y > \left ( \frac{5}{7} - 2 y \right )^2 \\ y \geq 0 \end{cases}$.

Второе неравенство этой системы можно переписать в виде

$2 \cdot 49 y^2 - 7 \cdot 27 y + 25 < 0$,

откуда

$\frac{1}{7} < y < \frac{25}{14}$, т.е. $y > \frac{1}{7}$, так как $y = \cos x$.

Решения всей системы будут лежать в интервале

$\frac{1}{7} < y \leq \frac{5}{1}4$.

Объединяя его с интервалом $y > \frac{5}{14}$, получим $y > \frac{1}{7}$.
Ответ. $- \arccos \frac{1}{7} + 2 n \pi < x < \arccos \frac{1}{7} + 2n \pi$.