Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2508
2019-03-30 
Решить неравенство $tg x tg 3x < -1$.
Решение:
Перепишем неравенство в виде
$\frac {\sin x \sin 3x + \cos x \cos 3x}{\cos x \cos 3x} < 0$, т.е. $\frac {\cos 2x}{\cos x \cos 3x} < 0$.
Преобразуем знаменатель
$\cos x \cos 3x = \frac{1}{2} (\cos 2x + \cos 4x) = \frac{1}{2} (\cos 2x + 2\cos^2 2x - 1)$
и введем обозначение $\cos 2x = y$. Получим
$\frac {2y}{2y^2+y-1} < 0$, т.е. $\frac {y}{(y+1) \left (y- \frac{1}{2} \right )} < 0$,
откуда $y < -1, 0< y < \frac{1}{2}$ и, наконец, $0 < \cos 2x < \frac{1}{2}$.
Ответ. $- \frac{ \pi}{4} + n \pi < x < - \frac{ \pi}{6} + n \pi; \frac{ \pi}{6} + n \pi < x < \frac{ \pi}{4} + n \pi$.
Решить неравенство $tg x tg 3x < -1$.
Решение:
Перепишем неравенство в виде
$\frac {\sin x \sin 3x + \cos x \cos 3x}{\cos x \cos 3x} < 0$, т.е. $\frac {\cos 2x}{\cos x \cos 3x} < 0$.
Преобразуем знаменатель
$\cos x \cos 3x = \frac{1}{2} (\cos 2x + \cos 4x) = \frac{1}{2} (\cos 2x + 2\cos^2 2x - 1)$
и введем обозначение $\cos 2x = y$. Получим
$\frac {2y}{2y^2+y-1} < 0$, т.е. $\frac {y}{(y+1) \left (y- \frac{1}{2} \right )} < 0$,
откуда $y < -1, 0< y < \frac{1}{2}$ и, наконец, $0 < \cos 2x < \frac{1}{2}$.
Ответ. $- \frac{ \pi}{4} + n \pi < x < - \frac{ \pi}{6} + n \pi; \frac{ \pi}{6} + n \pi < x < \frac{ \pi}{4} + n \pi$.
