Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2507
2019-03-30 
Решить неравенство $\left (\frac {3(\sin x + \cos x) - \sqrt {2}}{2 \sqrt {2} - \sin x - \cos x} \right )^{1/2} > 1$.
Решение:
Так как $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos \left (x - \frac{\pi}{4} \right )$, то обозначив $\cos \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) = y$, получим неравенство
$\left ( \frac {3 \sqrt{2} y - \sqrt 2}{2 \sqrt{2} y - \sqrt{2} y} \right )^{1/2} > 1$, т.е. $\left ( \frac {3y-1}{2-y} \right )^{1/2} > 1$.
Это неравенство равносильно такому:
$\frac {3y-1}{2-y} > 1$ или $\frac {4y - 3}{2-y} > 0$.
Так как $y$ не превосходит 1, то $2-y > 0$. Поэтому $y > \frac{3}{4}$.
Решением неравенства $\cos \left ( x - \frac{\pi}{4} \right ) > \frac{3}{4}$ будут значения $x - \frac{\pi}{4}$, лежащие между $2 k \pi - \arccos \frac{3}{4}$ и $2k \pi + \arccos \frac{3}{4}$.
Ответ. $2k \pi + \frac{ \pi}{4} - \arccos \frac{3}{4} < x < 2k \pi + \frac{ \pi}{4} + \arccos \frac{3}{4}$.
Решить неравенство $\left (\frac {3(\sin x + \cos x) - \sqrt {2}}{2 \sqrt {2} - \sin x - \cos x} \right )^{1/2} > 1$.
Решение:
Так как $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos \left (x - \frac{\pi}{4} \right )$, то обозначив $\cos \left ( \frac{\pi}{4} - x \right ) = y$, получим неравенство
$\left ( \frac {3 \sqrt{2} y - \sqrt 2}{2 \sqrt{2} y - \sqrt{2} y} \right )^{1/2} > 1$, т.е. $\left ( \frac {3y-1}{2-y} \right )^{1/2} > 1$.
Это неравенство равносильно такому:
$\frac {3y-1}{2-y} > 1$ или $\frac {4y - 3}{2-y} > 0$.
Так как $y$ не превосходит 1, то $2-y > 0$. Поэтому $y > \frac{3}{4}$.
Решением неравенства $\cos \left ( x - \frac{\pi}{4} \right ) > \frac{3}{4}$ будут значения $x - \frac{\pi}{4}$, лежащие между $2 k \pi - \arccos \frac{3}{4}$ и $2k \pi + \arccos \frac{3}{4}$.
Ответ. $2k \pi + \frac{ \pi}{4} - \arccos \frac{3}{4} < x < 2k \pi + \frac{ \pi}{4} + \arccos \frac{3}{4}$.
