Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2504
2019-03-30 
При каких значениях $\alpha, 0 \leq \alpha \leq \pi$, уравнение
$2x^2 - 2 (2 \cos \alpha - 1)x + 2 \cos^2 \alpha - 5 \cos \alpha + 2 = 0$
имеет различные действительные корни? Исследовать знаки корней.
Решение:
Дискриминант трехчлена равен
$(2 \cos \alpha - 1)^2 - 4 \cos^2 \alpha + 10 \cos \alpha - 4 = 6 \cos \alpha - 3$.
Чтобы уравнение имело различные действительные корни, нужно потребовать
$6 \cos \alpha - 3 > 0$, т. е. $\cos \alpha > \frac{1}{2}$,
откуда $0 \leq \alpha < \frac{ \pi}{3}$ (в условии сказано, что $0 \leq \alpha \leq \pi$).
Свободный член сравним с нулем:
$2 \cos^2 \alpha - 5 \cos \alpha + 2 \vee 0$.
Так как корнями трехчлена $2y^2- 5y + 2$ будут числа 1/2 и 2, то свободный член будет положителен при $\cos \alpha < \frac{1}{2}$ и отрицателен при $\cos \alpha > \frac{1}{2}$. Мы уже выяснили, что должно иметь место второе неравенство; таким образом, исходное уравнение имеет корни разных знаков.
Поскольку $x_1 + x_2 = 2 \cos \alpha - 1$, что при $\cos \alpha > \frac{1}{2}$ - больше нуля, то положительный корень имеет большую абсолютную величину.
Ответ. Данное уравнение имеет два различных действительных корня при $0 \leq \alpha < \frac{\pi}{3}$. Эти корни имеют разные знаки, причем положительный корень больше по абсолютной величине.
При каких значениях $\alpha, 0 \leq \alpha \leq \pi$, уравнение
$2x^2 - 2 (2 \cos \alpha - 1)x + 2 \cos^2 \alpha - 5 \cos \alpha + 2 = 0$
имеет различные действительные корни? Исследовать знаки корней.
Решение:
Дискриминант трехчлена равен
$(2 \cos \alpha - 1)^2 - 4 \cos^2 \alpha + 10 \cos \alpha - 4 = 6 \cos \alpha - 3$.
Чтобы уравнение имело различные действительные корни, нужно потребовать
$6 \cos \alpha - 3 > 0$, т. е. $\cos \alpha > \frac{1}{2}$,
откуда $0 \leq \alpha < \frac{ \pi}{3}$ (в условии сказано, что $0 \leq \alpha \leq \pi$).
Свободный член сравним с нулем:
$2 \cos^2 \alpha - 5 \cos \alpha + 2 \vee 0$.
Так как корнями трехчлена $2y^2- 5y + 2$ будут числа 1/2 и 2, то свободный член будет положителен при $\cos \alpha < \frac{1}{2}$ и отрицателен при $\cos \alpha > \frac{1}{2}$. Мы уже выяснили, что должно иметь место второе неравенство; таким образом, исходное уравнение имеет корни разных знаков.
Поскольку $x_1 + x_2 = 2 \cos \alpha - 1$, что при $\cos \alpha > \frac{1}{2}$ - больше нуля, то положительный корень имеет большую абсолютную величину.
Ответ. Данное уравнение имеет два различных действительных корня при $0 \leq \alpha < \frac{\pi}{3}$. Эти корни имеют разные знаки, причем положительный корень больше по абсолютной величине.
