Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2503
2019-03-30 
Найти решения неравенства $\sin 2x > \sqrt {2} \sin^2 x + (2 - \sqrt {2}) \cos^2 x$, лежащие в интервале $(0, 2 \pi)$.
Решение:
Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$ и неравенство не удовлетворяется.
Поделим обе части неравенства на $\cos^2 x$ и обозначим $tg x = у$. Получим алгебраическое неравенство
$\sqrt 2 y^2 - 2y + 2 - \sqrt 2 < 0$.
Разделив на $\sqrt 2$, получим неравенство
$y^2 - \sqrt 2 y + \sqrt 2 - 1 < 0$,
откуда
$\sqrt{2} - 1 < tg x < 1$.
Из интервалов, в которых лежит $х$:
$arctg (\sqrt{2} - 1) + n \pi < x < \frac{ \pi}{4} + n \pi$,
выбираем решения, лежащие в $(0, 2 \pi)$.
Ответ. $arctg (\sqrt{2} - l) < x < \frac{ 5 \pi}{4}$.
Найти решения неравенства $\sin 2x > \sqrt {2} \sin^2 x + (2 - \sqrt {2}) \cos^2 x$, лежащие в интервале $(0, 2 \pi)$.
Решение:
Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$ и неравенство не удовлетворяется.
Поделим обе части неравенства на $\cos^2 x$ и обозначим $tg x = у$. Получим алгебраическое неравенство
$\sqrt 2 y^2 - 2y + 2 - \sqrt 2 < 0$.
Разделив на $\sqrt 2$, получим неравенство
$y^2 - \sqrt 2 y + \sqrt 2 - 1 < 0$,
откуда
$\sqrt{2} - 1 < tg x < 1$.
Из интервалов, в которых лежит $х$:
$arctg (\sqrt{2} - 1) + n \pi < x < \frac{ \pi}{4} + n \pi$,
выбираем решения, лежащие в $(0, 2 \pi)$.
Ответ. $arctg (\sqrt{2} - l) < x < \frac{ 5 \pi}{4}$.
