ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-30   
Решить неравенство: $5 + 2 \cos 2x \leq 3 |2 \sin x - 1|$.


Решение:


Данное неравенство равносильно совокупности двух систем

$\begin{cases} 5 + 2 \cos 2x \leq 3 (2 \sin x - 1) \\ 2 \sin x - 1 \geq 0 \end{cases}$ (1);
$\begin{cases} 5 + 2 \cos 2x \leq 3 (1 - 2 \sin x) \\ 2 \sin x - 1 < 0 \end{cases}$ (2).

Вначале решим первое неравенство первой системы. Выразим $\cos 2x$ через $\sin^2 x$, получим неравенство

$2 \sin^2 x + 3 \sin x - 5 \geq 0$,

откуда

$\sin x \leq - \frac{5}{2}, \sin x \geq 1$.

Поскольку первое неравенство не имеет решений, а второе выполняется только при $\sin x = 1$, первая система преобразуется к виду

$\begin{cases} \sin x \geq \frac{1}{2}, \\ \sin x = 1. \end{cases}$

Решения этой системы совпадают с решениями уравнения $\sin x = 1$, т.е.

$x = \frac{ \pi}{2} + 2n \pi$.

Перейдем ко второй системе и решим ее первое неравенство. Его можно записать в виде

$2 \sin^2 x - 3 \sin x - 2 \geq 0$,

откуда

$\sin x \leq - \frac{1}{2}, \sin x \geq 2$.

Так как второе из этой совокупности неравенств не имеет решений, то вторая система принимает вид

$\begin{cases} \sin x \leq - \frac{1}{2} \\ \sin x < \frac{1}{2} \end{cases}$.

Она эквивалентна неравенству

$\sin x \leq - \frac{1}{2}$,

т.е.

$- \frac{5}{6} \pi + 2 n \pi \leq x \leq - \frac{ \pi}{6} + 2n \pi$.
Ответ. $x = \frac{\pi}{2} + 2 n \pi; - \frac{5}{6} \pi + 2 n \pi \leq x \leq - \frac{ \pi}{6} + 2 n \pi$.