Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2501
2019-03-30 
Решить неравенство: $\cos x tg 2x \leq 0$.
Решение:
Первый способ. Неравенство равносильно совокупности двух систем
$\begin{cases} \cos x \geq 0 \\ tg 2x \leq 0 \end{cases}$; $\begin{cases} \cos x \leq 0 \\ tg 2x \geq 0 \end{cases}$.
Начнем со второго неравенства. При решении обеих систем нам понадобятся радиусы, на которых $tg 2x = 0$ и $tg2x$ не существует, так как только в этих точках может произойти перемена знака. Эти радиусы нанесены на рис., $a$ и $b$, причем на первом горизонтальной штриховкой заштрихованы те секторы, где $tg 2x < 0$, а на втором - остальные секторы круга. Остается в первом случае выбрать секторы, в которых $\cos х \geq 0$, а во втором - $\cos х \leq 0$.
Hанесем решения данного неравенства на общий чертеж (рис.), после чего можно записать ответ.
Bторой способ. Bоспользуемся формулой тангенса двойного угла и перепишем неравенство в виде
$\frac {2 \cos x tg x}{1 - tg^2 x} \leq 0$.
Формула, которую мы применили, является неабсолютньш тождеством, так как в результате ее использования из области определения левой части неравенства исчезают значения $x$, при которых $\cos x = 0$. Непосредственной подстановкой в исходное неравенство убеждаемся, что $х = \frac{\pi}{2} + k \pi$ - его корни. Отметив соответствующие радиусы на чертеже (рис.), можем считать, что $\cos x \neq 0$, и решать неравенство
$\frac {\sin x}{1 - tg^2 x \leq 0}$.
Когда $\sin х \geq 0$, получим, что $tg x < - 1, tg x > 1$ (рис.), а когда $\sin x \leq 0$, то $-1 < tg x < 1$ (рис.). Объединяя все решения на одном чертеже (не забывайте про рис.), запишем окончательный ответ (см. рис.).
Ответ. $\frac{ \pi}{4} + 2 n \pi < x < \frac{ 3 \pi}{4} + 2 n \pi; \pi + 2 n \pi \leq x < \frac{5 \pi}{4} + 2 n \pi; \frac{ 7 \pi}{4} + 2 n \pi < x \leq 2 (n+1) \pi; x = \frac{ \pi}{2} (4n + 3)$.
Решить неравенство: $\cos x tg 2x \leq 0$.
Решение:
Первый способ. Неравенство равносильно совокупности двух систем
$\begin{cases} \cos x \geq 0 \\ tg 2x \leq 0 \end{cases}$; $\begin{cases} \cos x \leq 0 \\ tg 2x \geq 0 \end{cases}$.
Начнем со второго неравенства. При решении обеих систем нам понадобятся радиусы, на которых $tg 2x = 0$ и $tg2x$ не существует, так как только в этих точках может произойти перемена знака. Эти радиусы нанесены на рис., $a$ и $b$, причем на первом горизонтальной штриховкой заштрихованы те секторы, где $tg 2x < 0$, а на втором - остальные секторы круга. Остается в первом случае выбрать секторы, в которых $\cos х \geq 0$, а во втором - $\cos х \leq 0$.
Hанесем решения данного неравенства на общий чертеж (рис.), после чего можно записать ответ.
Bторой способ. Bоспользуемся формулой тангенса двойного угла и перепишем неравенство в виде
$\frac {2 \cos x tg x}{1 - tg^2 x} \leq 0$.
Формула, которую мы применили, является неабсолютньш тождеством, так как в результате ее использования из области определения левой части неравенства исчезают значения $x$, при которых $\cos x = 0$. Непосредственной подстановкой в исходное неравенство убеждаемся, что $х = \frac{\pi}{2} + k \pi$ - его корни. Отметив соответствующие радиусы на чертеже (рис.), можем считать, что $\cos x \neq 0$, и решать неравенство
$\frac {\sin x}{1 - tg^2 x \leq 0}$.
Когда $\sin х \geq 0$, получим, что $tg x < - 1, tg x > 1$ (рис.), а когда $\sin x \leq 0$, то $-1 < tg x < 1$ (рис.). Объединяя все решения на одном чертеже (не забывайте про рис.), запишем окончательный ответ (см. рис.).
Ответ. $\frac{ \pi}{4} + 2 n \pi < x < \frac{ 3 \pi}{4} + 2 n \pi; \pi + 2 n \pi \leq x < \frac{5 \pi}{4} + 2 n \pi; \frac{ 7 \pi}{4} + 2 n \pi < x \leq 2 (n+1) \pi; x = \frac{ \pi}{2} (4n + 3)$.
