ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Доказать, что объединение $L$ осей симметрии множества $M$ на плоскости содержится в объединении осей симметрии множества $L$.


Решение:



Пусть множество M имеет оси симметрии $l_{0}$ и $l_{1}$ (не обязательно различные). Тогда прямая $l_{2}$, симметричная примой $l_{1}$ относительно прямой $l_{0}$, также является осью симметрии множества М. Действительно, если через $S_{l}(A)$ обозначить точку, симметричную точке А относительно прямой $l$, то из симметричности точек А и $S_{l_{}}(A)$, а также прямых $l_{2}$ и $l_{1}$ относительно прямой $l_{0}$ - вытекает (рис.) симметричность точек $S_{l_{2}}(A)$ и $S_{l_{1}}(S_{l_{0}}(A))$ относительно той же прямой $l_{0}$. Поэтому для любой точки А справедливо равенство
$S_{l_{2}}(A) = S_{l_{0}}(S_{l_{1}}(S_{l_{0}}(A)))$,
откуда имеем
$S_{l_{2}}(M) = S_{l_{0}}(S_{l_{1}}(S_{l_{0}}(M))) = S_{l_{0}}(S_{l_{1}}(M)) S_{l_{0}}(M) = M$.
Таким образом, любая ось симметрии $l_{0}$ множества M является осью симметрии множества L, откуда вытекает утверждение задачи.