ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-28   
Решить неравенство:

$\sin x - 3 \cos x < 0$.


Решение:


Первый способ. Неравенство $\sin x < 3 \cos x$ равносильно совокупности трех систем

$\begin{cases} \cos x > 0 \\ tg x < 3 \end{cases}$; $\begin{cases} \cos x < 0 \\ tg x > 3 \end{cases}$; $\begin{cases} \cos x = 0 \\ \sin x < 0 \end{cases}$.

Решение каждой из них изображено на рис.

Второй способ. Запишем данное неравенство так:

$\frac {2 tg \frac{x}{2}}{1 + tg^2 \frac{x}{2}} - \frac {3 \left (1- tg^2 \frac{x}{2} \right )}{1 + tg^2 \frac{x}{2} } < 0$.

При использовании этих формул мы исключили из области существования левой части неравенства точки, в которых $tg \frac{x}{2}$ не существует. Поэтому нужно подставить в исходное неравенство $x = \pi (2n + 1)$. Убеждаемся, что

$\sin \pi (2n + 1) - 3 \cos \pi (2n + 1) = 3$,

т. е. эти точки не являются корнями неравенства.
Приходим к квадратному неравенству

$3 tg^2 \frac{x}{2} + 2 tg \frac{x}{2} - 3 < 0$,

откуда

$\frac {-1- \sqrt{10}}{3} < tg \frac{x}{2} < \frac {-1 + \sqrt{10}}{3}$.

Третий способ. Найдем корни уравнения

$\sin x - 3 \cos x = 0$,

или $2 \ sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - 3 \left ( \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} \right ) = 0$.

Это однородное уравнение. Оно равносильно уравнению относительно $tg \frac{x}{2}$:

$3 tg^2 \frac{x}{2} + 2 tg \frac{x}{2} - 3 = 0$.

Дальше решение аналогично второму способу.
Наиболее компактный ответ получается при решении неравенства первым способом.
Ответ. $arctg 3 + \pi (2n - 1) < x < arctg 3 + 2 \pi n$.