Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2496
2019-03-28 
Решить уравнение
$\sin x + 2 \sin 2x = 3 + \sin 3x$.
Решение:
Представив данное уравнение в виде
$\sin 2x - \sin x \cos 2x = \frac{3}{2}$,
оценим левую часть. Чтобы оценить выражение
$A \sin 2x + B \cos 2x$,
его нормируют, т. е. представляют в виде
$\sqrt {A^2 + B^2} \left ( \frac {A}{\sqrt {A^2 + B^2}} \sin 2x + \frac {B}{\sqrt {A^2 + B^2}} \cos 2x \right )$.
Выражение, стоящее в скобках, можно записать как $\sin (2x + \alpha)$, т. е. оно не превосходит по абсолютной величине единицу. B нашем случае $A = 1, B = -\sin x$. Поэтому
$\sin 2x - \sin x \cos 2x = \sqrt {1 + \sin^2 x} \left ( \frac {1}{\sqrt {1+ \sin^2 x}} \sin 2x - \frac {\sin x}{\sqrt {1+ \sin^2 x}} \cos 2x \right ) \leq \sqrt {1 + \sin^2 x} \leq \sqrt {2}$.
Так как левая часть рассматриваемого уравнения не превосходит $\sqrt {2}$, а правая часть равна $\frac{3}{2}$, что больше $\sqrt {2}$, то данное уравнение не имеет корней.
Ответ. Нет решений.
Решить уравнение
$\sin x + 2 \sin 2x = 3 + \sin 3x$.
Решение:
Представив данное уравнение в виде
$\sin 2x - \sin x \cos 2x = \frac{3}{2}$,
оценим левую часть. Чтобы оценить выражение
$A \sin 2x + B \cos 2x$,
его нормируют, т. е. представляют в виде
$\sqrt {A^2 + B^2} \left ( \frac {A}{\sqrt {A^2 + B^2}} \sin 2x + \frac {B}{\sqrt {A^2 + B^2}} \cos 2x \right )$.
Выражение, стоящее в скобках, можно записать как $\sin (2x + \alpha)$, т. е. оно не превосходит по абсолютной величине единицу. B нашем случае $A = 1, B = -\sin x$. Поэтому
$\sin 2x - \sin x \cos 2x = \sqrt {1 + \sin^2 x} \left ( \frac {1}{\sqrt {1+ \sin^2 x}} \sin 2x - \frac {\sin x}{\sqrt {1+ \sin^2 x}} \cos 2x \right ) \leq \sqrt {1 + \sin^2 x} \leq \sqrt {2}$.
Так как левая часть рассматриваемого уравнения не превосходит $\sqrt {2}$, а правая часть равна $\frac{3}{2}$, что больше $\sqrt {2}$, то данное уравнение не имеет корней.
Ответ. Нет решений.
