Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2495
2019-03-28 
Найти все пары чисел $x$ и $у$, которые удовлетворяют уравнению $\left (sin^2 x + \frac{1}{ \sin^2 x} \right )^2 + \left (\cos^2 x + \frac{1}{ \cos^2 x} \right )^2 = 12 + \frac{1}{2} \sin y$.
Решение:
Оценим левую часть уравнения:
$\left ( \sin^2 x + \frac{1}{ \sin^2 x} \right )^2 + \left ( \cos^2 x + \frac{1}{ \cos^2 x} \right )^2 = \sin^4 x + \frac{1}{ \sin^4 x} + \cos^4 x + \frac{1}{ \cos^4 x} + 4 = \frac{1}{4} (1 - \cos 2x)^2 + \frac {4}{(1- \cos 2x)^2} + \frac{1}{4} (1 + \cos 2x)^2 + \frac {4}{(1+ \cos 2x)^2} + 4 = \frac{1}{4} (2+ 2 \cos^2 2x) + \frac {4 (2+2 \cos^2 2x)}{(1- \cos 2x)^2 (1+ \cos 2x)^2} + 4 = 4 + \frac{1}{2} (1+\cos^2 2x) + \frac {8 (1+\cos^2 2x)}{(1- \cos^2 2x)^2}$.
С увеличением $\cos^2 2x$ это выражение растет. Поэтому оно будет достигать своего минимума, когда $\cos^2 2x = 0$. Таким образом, левая часть уравнения не может стать меньше 12,5.
Поскольку правая часть не может превзойти 12,5, то получаем систему
$\begin{cases} \cos 2x = 0 \\ \sin y = 1 \end{cases}$.
Ответ. $\begin{cases} x = \frac{ \pi}{4} + \frac{ \pi k}{2} \\ y = \frac{ \pi}{2} + 2n \pi \end{cases}$
Найти все пары чисел $x$ и $у$, которые удовлетворяют уравнению $\left (sin^2 x + \frac{1}{ \sin^2 x} \right )^2 + \left (\cos^2 x + \frac{1}{ \cos^2 x} \right )^2 = 12 + \frac{1}{2} \sin y$.
Решение:
Оценим левую часть уравнения:
$\left ( \sin^2 x + \frac{1}{ \sin^2 x} \right )^2 + \left ( \cos^2 x + \frac{1}{ \cos^2 x} \right )^2 = \sin^4 x + \frac{1}{ \sin^4 x} + \cos^4 x + \frac{1}{ \cos^4 x} + 4 = \frac{1}{4} (1 - \cos 2x)^2 + \frac {4}{(1- \cos 2x)^2} + \frac{1}{4} (1 + \cos 2x)^2 + \frac {4}{(1+ \cos 2x)^2} + 4 = \frac{1}{4} (2+ 2 \cos^2 2x) + \frac {4 (2+2 \cos^2 2x)}{(1- \cos 2x)^2 (1+ \cos 2x)^2} + 4 = 4 + \frac{1}{2} (1+\cos^2 2x) + \frac {8 (1+\cos^2 2x)}{(1- \cos^2 2x)^2}$.
С увеличением $\cos^2 2x$ это выражение растет. Поэтому оно будет достигать своего минимума, когда $\cos^2 2x = 0$. Таким образом, левая часть уравнения не может стать меньше 12,5.
Поскольку правая часть не может превзойти 12,5, то получаем систему
$\begin{cases} \cos 2x = 0 \\ \sin y = 1 \end{cases}$.
Ответ. $\begin{cases} x = \frac{ \pi}{4} + \frac{ \pi k}{2} \\ y = \frac{ \pi}{2} + 2n \pi \end{cases}$
